时滞反馈作用下ENSO充电振子模型的

刘宇丹, 杜智远, 赵 强

摘要 通过数学变换将一类含有时滞反馈机制的ENSO充电振子模型转换成时滞Van der Pol-Duffing方程,并以此为基础来研究该ENSO系统的零解稳定性、Hopf分岔和极限环等动力学特征 用平均法分析了其零解的稳定性与时滞效应的强度,其和时间都有关系,讨论了时滞负反馈对ENSO振荡的影响并通过简单数值模拟验证理论分析的结果

ENSO; 时滞Van der Pol-Duffing方程; Hopf分岔

引 言

El o(厄尔尼诺)/南方涛动(ENSO)是大尺度海气相互作用(特别是热带海气耦合相互作用)的集中表现,是年际气候变化中的最强信号,因此其成为认识年际气候变化规律和预测年际气候变化的重要突破口 为了揭示ENSO现象的物理机制及其变化规律,科学家们在进行观测资料统计和诊断分析、数值模拟的同时,也开展了ENSO机理的动力学理论研究 [1-5] 相对于复杂的全球海-气耦合数值模式, 通过简化海气非线性相互作用物理过程所得到的振子概念模型能够更容易地刻画海气耦合运动本质和物理机理, 从而更成功地模拟ENSO的某些重要物理现象 因此许多学者提出研究ENSO的各种振子形式的动力系统模型, 例如“时滞振子” “平流-反射振子” “充电-放电振子”“西太平洋振子”,以及“时滞微分方程”理论来探索ENSO动力学机理 [6-12] 另一方面, 笔者也注意到Van der Pol-Duffing振子作为概念模型已应用于耦合海冰模式、模拟高分辨率的冰芯资料、古气候动力学理论等研究 [13-15] 由于时滞效应对非线性系统稳定性的影响不可忽视 [16-17] ,本文中, 用一个受到时滞反馈作用的Van der Pol-Duffing振子来研究时滞反馈效应对ENSO的影响 基于Jin [6] 所提出的ENSO充电振子理论模型, 增加考虑时滞反馈作用机制,该ENSO振子模型的动力学控制方程组可以写成如下形式:

(1)

其中 T 表示赤道东太平洋的海表温度(SST)距平, h 表示赤道西太平洋的温跃层厚度距平 上面的模型有效地描述了海表温度距平和温跃层厚度距平间的非线性相互作用 C D E R h ε 表示正的模式参数, 有关它们的详细定义和物理意义参见文献[6],在这里增加了时滞反馈作用项 Δ

1 时滞Van der Pol-Duffing方程

通过数学变换 [18-21] , 得到以下微分方程:

(2)

其中

με = R h - C ω 2 = DE - CR h

(3)

并且

0< ε <1, CR h < DE

(4)

为了不失一般性,这里考虑弱时滞反馈效应,取

Δ = κT ( t - τ ),

(5)

κ 是时滞强度, τ 是时滞时间 式(2)就是包含时滞反馈效应的Van der Pol-Duffing方程 在充放电振子模态中,主要考虑赤道海水热容量在海表风应力的驱动下发生充电/放电的过程,在这一过程中加入了Rossby波的时滞反馈作用:由于海表西风异常产生的Rossby波遇到西边界后成为沿赤道上翻的Kelvin波,这个冷性的Kelvin波到达赤道中太平洋后减小了热通量,从而形成负反馈 κ <0,在Rossby波转换成Kelvin波时所需的时间即为时滞时间 τ 含有时滞效应的Van der Pol-Duffing方程的动力学已有比较多的研究 [22-23] ,本文将对模式(2)的性态做分析

2 零解的稳定性与Hopf分岔

为了研究方便,这里假设 ω =1,将含有 ε 的项移到等式右边:

(6)

其中

(7)

根据时滞微分方程的平均法,设方程(6)中 满足

T = A cos( t - φ ),

(8)

(9)

此时方程(6)化为极坐标形式:

(10)

由于振幅 A 和相位 φ 是时间的慢变函数,则有 A ( t - τ )≅ A ( t ), φ ( t - τ )≅ φ ( t ) 此时对方程组(10)等号右边在(0,2π)内取积分,可得到

(11)

方程组(11)即为含有时滞反馈的平均方程,将方程(6)的近似解改写为

T = A 1 cos t + A 2 sin t

(12)

则其对应的平均方程为

(13)

显然( A 1 , A 2 )=(0,0)是一个平衡态,它的Jacobi矩阵为

(14)

特征值 λ 的特征方程为

λ 2 +2( κ sin τ + μ ) λ +( κ sin τ + μ ) 2 +( κ cos τ ) 2 =0

(15)

根据Routh-Hurwitz判据,满足条件

-( κ sin τ + μ )<0, ( κ sin τ + μ ) 2 +( κ cos τ ) 2 >0

(16)

原点为渐近稳定的平衡点 可见,零解的稳定性与时滞反馈有关 当-( κ sin τ + μ )=0时,特征方程有一对纯虚根,此时系统发生Hopf分岔 笔者在以前的研究工作中 [18-19] ,已经严格证明了不含时滞反馈机制的ENSO充电振子模式存在一个稳定的极限环,即存在1个周期振荡 因此应有d A /d t =0,由方程组(11)第一式可知其极限环的幅值 A 与时滞反馈也有关

3 物 理 机 理

在上述ENSO模型中,ENSO系统在一定参数变化范围内存在稳定的极限环,说明ENSO是一个不依赖于初始扰动的自激振荡系统 阻尼 μ <0时,ENSO系统有周期解,此处 μ 由( R h - C )决定( R h 为Bjerknes正反馈系数、 C 为海洋温跃层负反馈系数),说明不考虑Rossby波的时滞负反馈作用,正反馈大于负反馈时,ENSO模式出现周期振荡,此时热带海气耦合的不稳定增长是产生ENSO循环的主要因子 而在海波时滞效应的影响下,即使正反馈小于负反馈,振荡依然出现,说明Rossby波转换成Kelvin波这一过程产生的时间滞后对于ENSO循环的影响很关键

4 简单数值模拟

构造一个描述ENSO系统的完整海气耦合模式是十分复杂的,且难以得到反映清晰物理过程的解 利用简单的概念模式来研究ENSO等气候系统动力学机理是气象学家常用的方法 在大量基础理论研究中,抓住主要矛盾的近似理论和简化方程仍然具有纯数值计算模拟不能替代的价值 本节将对文中讨论的时滞反馈作用下ENSO充电振子模型做简单数值模拟,来验证以上理论分析的结果

图1和图2是用数值方法解方程(6)的结果,取 ε =0.1, R h =1, μ =2(>0),初始值 随着时滞强度 κ 和时滞时间 τ 的变化,反映ENSO系统不同的物理条件 [8] ,这里取0≤ τ ≤2 a,0≤| κ |≤10 可以看到,充电振子模式在考虑时滞作用以后系统的稳定性、分岔情况和极限环都有所变化

(a) Δ=0与τ=2 a, κ=-0.8的对比
(a) Δ=0 vs. τ=2 a, κ=-0.8

(b) τ=2 a

(c) κ=-10
图1 时间序列
Fig. 1 Time series

图1(a)中虚线是没有时滞反馈机制的结果,实线是时滞反馈强度较小时方程(2)的解 原系统在 μ >0时是稳定的,这与文献[19]中的图2结果一致 时滞反馈强度较小的情况下( κ >=0.8),系统保持稳定 图1(b)中随着时滞反馈强度的增大, 系统出现了分岔, 进入准周期振荡的状态, 振幅随着 κ 增加而增大, 波形和相位也发生了变化 图1(c)为改变时滞时间, 使其从满足式(16)到不满足, 发现系统由平衡态走向分岔, 这与前文中的理论分析结果一致

(a) κ=-2.6, τ=2 a

(b) κ=-7, τ=2 a

(c) κ=-10, τ=0.35 a

(d) κ=-10, τ=1.6 a
图2 相平面图和功率谱
Fig. 2 The phase plane and the power spectrum

从图2中的相图中可以看出,有时滞反馈机制的ENSO系统出现稳定的极限环,并且极限环的幅值随着时滞强度和时滞时间改变,时滞效应对于ENSO振荡幅度有影响,这同样验证了第3节中的分析结果;图2中的功率谱表示了不同的时滞强度和时滞时间对应振荡频率的变化,在合理的、具有物理意义的参数取值范围内,ENSO振荡周期在4.2 a到2.9 a之间,这与实际观测结果一致,可见该时滞ENSO概念模型具有实际应用意义

5 结 论

ENSO是非常复杂的海气耦合非线性系统, 对其物理机理的有限理解使得对ENSO的数值模拟和准确预测面临着极大的阻碍 本文研究一类含有时滞反馈作用下的ENSO充电振子动力学模式,定性分析和简单数值模拟发现,时滞反馈效应对ENSO系统有较大影响 在正阻尼的情况下,无时滞的原系统在平衡点处是稳定的,时滞反馈的出现使得系统由平衡态进入准周期振荡,出现Hopf分岔,其振荡的振幅与时滞强度和时滞时间都有关

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Bifurcation Analysis of the ENSO Recharge Oscillator With Time-Delayed Feedback

LIU Yudan, DU Zhiyuan, ZHAO Qiang

( Department of Atmospheric and Oceanic Sciences , School of Physics , Peking University , Beijing 100871, P . R . China )

Abstract: The time-delayed impact on a class of nonlinear ENSO recharge oscillator models was investigated through transformation of the model equations into the Van der Pol-Duffing oscillator with time-delayed feedback. The Hopf bifurcation and stable limit cycles were obtained with the averaging method. Qualitative analysis shows that equilibrium stability of the ENSO system and its oscillation are closely related to the delayed feedback amplitude and time. Finally, numerical simulations were carried out to illustrate the analytical results.

Key words: El Ni o-Southern Oscillation; time-delayed Van der Pol-Duffing equation; Hopf bifurcation

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(41175052)

作者简介: 刘宇丹(1983—),女,硕士(通讯作者. E-mail: veta_elle@pku.edu.cn).

基金项目: 国家自然科学基金(41175052)

修订日期: 2018-02-26

收稿日期: 2017-12-22;

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

文章编号 1000-0887(2018)10-1128-09

DOI: 10.21656/1000-0887.380332

文献标志码: A

中图分类号 P433

(北京大学 物理学院 大气与海洋科学系, 北京 100871)

引用本文 / Cite this paper: 刘宇丹, 杜智远, 赵强. 时滞反馈作用下ENSO充电振子模型的分岔分析[J]. 应用数学和力学, 2018, 39 (10): 1128-1136.LIU Yudan, DU Zhiyuan, ZHAO Qiang. Bifurcation analysis of the ENSO recharge oscillator with time-delayed feedback[J]. Applied Mathematics and Mechanics , 2018, 39 (10): 1128-1136.