ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

一类随机泛函微分方程带随机步长的EM逼近的渐近稳定

马 丽, 马瑞楠

(海南师范大学 数学与统计学院, 海口 571158)

摘要 研究了一类带有限延迟的随机泛函微分方程的Euler-Maruyama(EM)逼近,给出了该方程的带随机步长的EM算法,得到了随机步长的两个特点:首先,有限个步长求和是停时;其次,可列无限多个步长求和是发散的最终,由离散形式的非负半鞅收敛定理,得到了在系数满足局部Lipschitz条件和单调条件下,带随机步长的EM数值解几乎处处收敛到0该文拓展了2017年毛学荣关于无延迟的随机微分方程带随机步长EM数值解的结果

随机泛函微分方程; 带随机步长的EM逼近; 非负半鞅收敛定理; 几乎处处稳定

引 言

近年来,随机微分方程理论得到了快速发展,该理论被广泛应用于经济、金融、生物、控制、优化等领域在局部Lipschitz和线性增长条件下,随机微分方程存在唯一解,但一般情况下,解无显式表达式人们通常用数值逼近的方法来给出真实解的一些刻画在逼近时,要求数值解有一定的稳定性

许多学者研究了随机微分方程带非随机步长(即步长与ω无关)数值解的稳定性文献[1]给出了θ-隐式数值解,并得到了数值解的几乎处处稳定性文献[2]用经典的EM数值解逼近非线性随机延迟微分方程,得到了数值解的几乎处处指数稳定性;在真实解几乎处处稳定的情况下,对漂移项再加一个线性增长的条件,也得到数值解几乎处处稳定文献[3]研究了随机泛函微分方程,得到了当真实解几乎处处稳定时,经典的EM数值解也几乎处处稳定文献[4]研究了中立随机泛函微分方程的数值解,在局部Lipschitz和线性增长条件下,得到了经典的EM数值解在均方意义上强收敛到真实解,还得到了收敛的速度文献[5]研究了在固定时刻延迟的中立随机微分方程的数值解,在多项式增长条件下,得到了经典的EM数值解在均方意义上强收敛到真实解且给出了收敛速度文献[6]研究了在固定时刻延迟的带马氏切换的中立随机微分方程,在真实解稳定于0的前提下,得到了经典的EM数值解几乎处处稳定于平凡解文献[7]研究了带Poisson(泊松)跳的中立延迟随机微分方程,得到了经典的EM数值解收敛到真实解文献[8]研究了中立随机方程,得到了倒项的EM(BEM)数值解与真实解的几乎处处渐近稳定性文献[9-13]研究了几类随机微分方程真实解的几乎处处稳定性,为以上不同模型数值解稳定性的证明提供了有用的证明技巧

当随机微分方程的系数满足全局Lipschitz条件时,如果真实解几乎处处稳定,那么经典的显式数值解(比如EM数值解)也几乎处处稳定当系数不满足全局Lipschitz条件时,带固定步长的EM数值解可能不是几乎处处稳定的(见文献[14]中引理3.1)隐式数值解可以克服此困难与显式数值解相比,隐式数值解对步长要求不太严格,而且对很多随机微分方程来说,只要真实解有稳定性,隐式数值解也有稳定性然而,对非线性方程,隐式数值解在每一步迭代时计算量非常大

目前提出的带随机步长的EM数值方法引起了广泛的关注,文献[15]首次给出了随机微分方程带随机步长EM数值解,得到了数值解几乎处处稳定于0带随机步长的EM数值解在每一步都修正了步长,从而能控制局部误差,使得在计算时可以减少一些迭代,因此减少了计算量此外,带随机步长的EM方法比非随机步长的EM方法对漂移项和扩散项的要求条件要弱,不需要全局Lipschitz条件,因此应用范围更广修正每一步步长的技巧已经被广泛用于多阶段方法

现实生活中,很多系统不可避免地要考虑随机噪声和延迟的影响状态空间依赖于过去的系统,可以用随机泛函微分方程来描述本文将研究随机泛函微分方程带随机步长的EM数值解,由非负半鞅的收敛定理,得到数值解稳定于平凡解本文结构如下:第1节给出一些数学符号、引理和预备定理;第2节介绍带随机步长的EM算法;第3节给出本文的主要结果即定理2,首先证明步长选择的合理性,给出停时的证明,得到带随机步长EM方法的几乎处处渐近稳定性;第4节给出一个例子;第5节给出本文的结论

1 预 备 知 识

令|·|表示Rn中的欧氏范数A是一个向量或矩阵,AT表示A的转置x,y〉或xTy表示x,yRn上的内积ab=maxa,bab=mina,b用「x⎤表示大于x的最小整数,N代表非负整数集,Z代表整数集,Q表示有理数集,R+=[0,∞),a.s.表示几乎处处成立,即除了一个零概率集外成立

(ΩF,Ft,P)是满足一般条件的带流Ftt≥0的完备概率空间,即Ftt≥0右连续递增且F0包括所有的P-零测集τ>0,C([-τ,0],Rn)表示从[-τ,0]到Rn上的连续函数族,若φC([-τ,0],Rn),定义表示一族在[-τ,0]上连续有界、关于F0可测的Rn值的随机过程ω(t)是定义在概率空间上的m维Brown(布朗)运动

f:C([-τ,0];Rn)→Rn,g:C([-τ,0];Rn)→Rn×m都是Borel-可测泛函,考虑如下定义的随机泛函微分方程:

dx(t)=f(xt)dt+g(xt)dω(t),t≥0,

(1)

其中,xt=x(t+θ):-τθ≤0为一个C([-τ,0],Rn)-值的随机过程显然,当θ=0时,xt(θ)=x(t+θ)=x(t)式(1)的初始值为为了保证式(1)的解的存在唯一性,对系数加以下条件

假设1(局部Lipschitz条件) 对于每个k≥1,存在一个正的常数Ck,对任意的φ,ψC([-τ,0];Rn),且‖φ‖∨‖ψ‖≤k,有

f(φ)-f(ψ)‖2∨‖g(φ)-g(ψ)‖2Ckφ-ψ2

(2)

假设2(单调条件) 对任意的φC([-τ,0];Rn),有

-z(φ)〈2φ(0),f(φ)〉+≤0

(3)

易知当假设1、2成立时,对任意给定的初始值xi,方程(1)存在唯一解z(φ)=0当且仅当φ(0)=0φ0成立,则-z(0)|g(0)|2≤0,从而g(0)=0;此外,若φ不恒等于0φ(0)≠0,f(φ)=0,则-z(φ)|g(φ)|2≤0,从而z(φ)=0,这与z(φ)=0当且仅当φ(0)=0φ0成立矛盾,因此,若φ不恒等于0φ(0)≠0,则f(φ)≠0 为了保证初值为0时,方程(1)存在平凡解,还须假定f(0)=0.

定理1(见文献[10]的定理2.2) 若假设1、2成立,且z(φ)=0当且仅当φ(0)=0φ0,那么对任意有界的初始值ξC([-τ,0];Rn),有limt→∞x(t)=0,a.s.

在介绍EM数值解之前,首先给出以下离散半鞅收敛定理

引理1AkkNUkkN是两列非负的Fk-可测的随机序列,k=0,1,2,…,A0=U0=0,a.s.,Mk是一个实值局部鞅且M0=0,a.s.,ζ是一个非负F0-可测的随机变量假设一个非负随机过程Xk可分解为如下形式:

Xk=ζ+Ak-Uk+Mk,

若limk→∞Ak<∞几乎处处成立,那么对所有的ωΩ,几乎处处地有limk→∞Xk<∞,limk→∞Uk<∞, 即XkUk几乎处处收敛到有限的随机变量

2 带随机步长的EM数值解

MN,M>τΔ=τ/M∈(0,1)为固定步长,t0=0,t-1=-Δ,t-2=-2Δ,…,t-M=

-=-τ定义

xk=ξ(tk), -Mk≤0,

(4)

y0

易知

若‖y0‖≠0,则取

Δt0=2-n0,n0=

若‖y0‖=0,则取

Δt0=2-2对任意的k=-M,-M+1,…,-1,0,xk=ξ(tk)关于F0可测,由y0的表达式可知,y0关于F0可测,从而Δt0关于F0可测,又t0=0,令t1=t0t0,则t1关于Ft0可测定义

x1=x0+f(y0t0+g(y0)(ωt1-ωt0),

y1易知

若‖y1‖≠0,则取

Δt1=2-n1,n1=

若‖y1‖=0,则取Δt1=2-2t2=t1t1,由于x0f(y0t0g(y0)ωt0关于F0可测,ωt1关于Ft1可测,故x1关于Ft1可测x0,x-1,…,x1-M关于F0可测,从而x1,x0,…,x1-M关于Ft1可测因此,由y1的表达式可知,y1关于Ft1可测,从而Δt1关于Ft1可测t2=t1t1,定义

x2=x1+f(y1t1+g(y1)(ωt2-ωt1)

一般地,当k≥0时,定义

xk+1=xk+f(yktk+g(ykωtk,

(5)

其中yk是用线性插值定义的随机过程:

yk

(6)

tiθti+1,i=-M,-M+1,…,-1Δωtk=ωtk+1-ωtk是Brown运动在[tk,tk+1]上的增量若‖yk‖≠0,则取

Δtk=2-nk,nk=

若‖yk‖=0,则取Δtk=2-2Δtk依赖于yk,yk依赖于xk+i+1,i=-M,-M+1,…,-1,类似于前面的推导可知xk+i+1关于Ftk+i+1可测,从而关于Ftk可测,故yk关于Ftk可测,从而随机步长Δtk关于Ftk可测称由式(4)和(5)定义的xk为带随机步长的EM数值解

3 主 要 定 理

首先强调两个关于随机步长的重要性质第一,有限个步长求和是停时,停时主要用于定理2中局部鞅的证明;第二,可列无限多个步长求和是发散的,发散可以保证时间趋于无穷本文主要结果如下

定理2 在假设1、2成立条件下,若z(φ)=0当且仅当φ(0)=0φ0,且

(7)

成立,则Ft停时,且对任意有界的初值ξC([-τ,0];Rn)有

证明 由式(5)可得

=〈xk+f(yktk+g(ykωk,xk+f(yktk+g(ykωk〉=
2〈xk+f(yktk,g(ykωk〉=

(8)

这里 Δmk=2〈xk+f(yktkg(ykωk〉+(tk)

下面分3步证明该定理,第一步证明随机步长选择的合理性以及tkFt停时第二步证明对任意的是局部鞅第三步给出随机步长序列的发散性,从而得到xk几乎处处稳定于平凡解

步骤1 由式(3)可知,在每一步都可以选择充分小的有理步长Δtk,使其满足

-U(yktk)-z(yk)+Δtk≤0

(9)

事实上,当‖yk‖≠0时,选择Δtk=2-nk,nk=「1-log2(z(yk)/)⎤,注意到nk>1-log2(z(yk)/),因此Δtk=2-nk≤(1/2)(z(yk)/),由单调条件知-U(yktk)≤-(1/2)z(yk)≤0,从而式(9)成立;当‖yk‖=0时,yk=0,由条件知z(yk)=z(0)=0,f(yk)=f(0)=0tk=2-2,因此,-U(yktk)=0,从而式(9)成立

下面由归纳法证tkFt停时k=0时,tk=t0=0,结论显然成立假设tk关于Ft为停时,即对任意t≥0,有tktFt,对任意sZ,jN,2sj∈[0,t],有tk≤2sjF2sjFt,由第2节的分析知Δtk关于Ftk可测,从而Δtkt-2sjFtkF,因此有tk≤2sj∩Δtkt-2sjFt因为ZN是可数集,所以有对任意的t≥0,

tk+1t=tktkt=

tk+1Ft停时由数学归纳法可得对任意k≥0,tkFt停时

将式(9)代入式(8),有

-=-U(yktktkmk,

k求和,

(10)

这里

步骤2 注意到yk, Δtk关于Ftk可测,Δωtk关于Ftk+1可测, 由式(5)知,xk+1关于Ftk+1可测定义一个新的流Gk,Gk=Ftk+1,k=-1,0,1,…,则xk+1关于Gk可测,由式(10)可知mk关于Gk可测

下面证明mkk≥0是关于流Gk的局部鞅注意到ξ有界,不妨令R>0,ξR,定义停时

ρR=infk≥0,xk>R,

xk关于Ftk可测知,ρRFtk的停时,因此,ρRGk-1的停时,即ρRkGk-1ρR的定义知,对所有的k≥0,有xkρRR,a.s.

首先,证明对任意t≥0,tkρRt(k+1)∧ρR都是Ft停时tkρR

tkρRt=(tktρRk)∪(tρRtρR<k),

其中ρRk=ρRk-1cGk-2Gk-1=FtkFtk的定义可得tktρRkFt,又注意到对j=0,1,…,k-1,ρR=j=ρRj-ρRj-1∈Gj-1=FtjFtj的定义可知,tjtρR=jFt,所以tρRtρR<kFt,因此tkρRtFt同理可得t(k+1)∧ρRFt停时

对任意的kρR,有xkρR=xρR定义带停时的Brown运动的增量ΔωkρR=ω(t(k+1)∧ρR)-ω(tkρR),以及带停时的时间步长ΔtkρR=t(k+1)∧ρR-tkρR,由R→∞时,ρR→∞,a.s.,可得到xk+1=xk+f(yktk+g(ykωtk因此,这样的定义是有效的此外,

mkρR=m(k-1)∧ρRmkρR

注意到,当tiθ<ti+1,i=-M,…,-1时,有

ρR的定义可知‖yiρR‖≤R故由假设1及基本不等式可得

2‖f(yiρR)‖·‖g(yiρR)‖·ΔtiρR·ΔωiρR+
2‖f(yiρR)‖·‖g(yiρR)‖·ΔtiρR·ΔωiρR+
g(yiρR)‖2·(tiρR)]≤

因此

同时

E(mkρR|Gk-1)=E(m(k-1)∧ρRmkρR|Gk-1)=
m(k-1)∧ρR+EmkρR|Gk-1)

(11)

因为ρR>k=ρRkcGk-1ωk关于Ftk独立,故关于Gk-1独立,

EωkρR|Gk-1)=
E[(ω(tk+1)-ω(tk))1ρR>k|Gk-1]+
E[(ω(tρR)-ω(tρR))1ρRk|Gk-1]=
1ρR>kE[ω(tk+1)-ω(tk)]=0,

(12)

E(|Gk-1)=
E[1ρR>k|Gk-1]+
E[ω(tρR)-ω(tρR)1ρRk|Gk-1]=
1ρR>kE=
1ρR>k(tk+1-tk)

(13)

由Δtk+1关于Fk+1=Gk可测及ρRGk-1停时,可得

EtkρR|Gk-1)=E[1ρR>k(tk+1-tk)+1ρRk(tρR-tρR)|Gk-1]=
1ρR>k(tk+1-tk)

(14)

因此,结合式(12)~(14)可得

EmkρR|Gk-1)=
E[2〈xkρR,g(ykρRωkρR〉+2〈f(ykρRtkρR,g(ykρRωkρR〉+
|g(ykρR)|2(|ΔωkρR|2tkρR)|Gk-1]=
2〈xkρR,g(ykρR)〉EωkρR|Gk-1)+
2〈f(ykρR),g(ykρR)〉ΔtkρREωkρR|Gk-1)+
|g(ykρR)|2[E(|ΔωkρR|2|Gk-1)-EtkρR|Gk-1)]=0

代入式(11),有

E(mkρR|Gk-1)=m(k-1)∧ρR,

从而得到mkρRk≥0是关于Gk的鞅,当R→∞时,有ρR→∞所以mkk≥0是关于Gk的局部鞅

步骤3 由式(10)及引理1可得

(15)

(16)

由式(16)可得limi→∞U(yititi=0,a.s.下面证明当i→∞时,随机步长Δti不会趋于0,即lim infi→∞Δti>0,a.s.

由式(15)知,对所有ωΩ,存在C(ω)∈R+,满足limk→∞|xk(ω)|=C(ω)固定ω,记C(ω)=C由式(6)知,对任意的θ∈[-τ,0]有limk→∞|yk(θ)|=C以下分两种情形讨论:

1) 当C≠0时,对任意的θ∈[-τ,0]存在一个充分大的整数使得对所有的因为z(φ)=0当且仅当φ(0)=0φ0,又若φ0,则f(φ)≠0,所以在这两个区间上z(yk)≠0,f(yk)≠0.再由z(yk)和f(yk)的连续性可得

所以对任意的

由步长的选择可得

nk=≤「1-log2(η)⎤

因此,

Δtk=2-nk≥2-「1-log2(η)⎤>0

综上,存在充分大,使得对所有的有Δtk>0,即Δtk永远不会趋于0

2) 当C=0时,设式(7)的极限是D,D>0存在一个常数δ=δ(D)>0使得对所有的‖φ‖∈(0,δ),有|z(φ)/|f(φ)|2-D|<0.5D注意到,对任意的θ∈[-τ,0]有

从而可以找到一个充分大的整数使得对任意的

ni=

因此当i→∞,Δti永远不会趋于0

综上可得和limk→∞U(yktk)=0,a.s.

对充分大的k,若‖yk‖≠0,则由步长Δtk的定义可知Δtkz(yk)/(2|f(yk)|2),故由假设2知

U(yktk)=z(yk)-|f(yk)|2Δtk≥0.5z(yk)≥0,

所以limk→∞z(yk)=0,a.s.由于z(φ)=0当且仅当φ(0)=0φ0,注意到z连续,因此,yk(0)=0或者limk→∞yk=0,a.s.yk(0)=0时,由t0=0及表达式

yk
tiθti+1,i=-M,-M+1,…,-1

可知,xk=0,从而limk→∞xk=0.当limk→∞yk=0,a.s.时,在上述表达式中取θ=ti可得limk→∞xk+i=limk→∞yk(ti)=0,a.s.所以limk→∞xk=0,a.s.

若对充分大的k,‖yk‖=0,则显然有limk→∞xk=0,a.s.证明完成

随机步长的选择不是唯一的,例如,对任意有理数α∈(0,1),可以令步长Δtk为Δtk=α(z(yk)/|f(yk)|2),同样可以证明结论成立,因此有以下定理

定理3 在假设1、 2成立的条件下, 若z(φ)=0当且仅当φ(0)=0φ0,z满足式(7)设有理数α∈(0,1)若‖yk‖≠0,取Δtk=α(z(yk)/|f(yk)|2);若‖yk‖=0时,取Δtk为任意有理数Ft停时,且对任意有界的初值ξC([-τ,0],Rn)有

4 例 子

考虑如下的一维随机泛函微分方程:

易知,f(0)=0,f,g连续,从而满足局部Lipschitz条件,但不满足全局的Lipschitz条件

-z(φ)+

z(φ)=0当且仅当φ(0)=0或φ≡0此外,

在每一步,选择步长为Δtk=0.5z(yk)/|f(yk)|2,由定理2可得带随机步长的EM数值解几乎处处渐进稳定

5 结 论

本文研究了带有限延迟的随机泛函微分方程

dx(t)=f(xt)dt+g(xt)dω(t)

首次给出了该方程的带随机步长的EM算法,得到了随机步长的两个特点:有限个步长求和是停时;可列无限多个步长求和是发散的最终由离散形式的非负半鞅收敛定理,得到了在系数满足局部Lipschitz条件和单调条件下,带随机步长的EM数值解几乎处处收敛到0Liu和Mao(毛学荣)在文献[15]中研究了随机微分方程带随机步长的EM数值解,在一定条件下,得到了数值解几乎处处收敛到0本文的模型比文献[15]中的模型更一般,因此拓展了文献[15]的结果

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Almost Sure Asymptotic Stability of the Euler-MaruyamaMethod With Random Variable Stepsizes forStochastic Functional Differential Equations

MA Li, MA Ruinan

(School of Mathematics and Statistics,Hainan Normal University,
Haikou 571158,P.R.China)

Abstract: The Euler-Maruyama (EM) approximation to a class of stochastic functional differential equations was studied. First, a numerical approximation with the EM method with random variable stepsizes was defined, then two characteristics of the random variable stepsizes were got: the summation of finite stepsizes is a stopping time and the summation of countably infinite stepsizes diverges. Finally, with the theory of non-negative semi-martingale convergence in discrete time, it was proved that the numerical approximation converges to zero almost surely if the coefficients satisfy the local Lipschitz condition and the monotonic condition. The results generalize the corresponding results of MAO Xuerong in a previous literature, where the EM approximation to a class of stochastic differential equations was studied and the numerical solution was proved to converge to zero almost surely.

Key words: stochastic functional differential equations; Euler-Maruyama method with random variable stepsizes; nonnegative semi-martingale convergence theorem; almost sure stability

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(11861029)

中图分类号 O211.62

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.390057

文章编号1000-0887(2019)01-0097-11

收稿日期 2018-02-06;

修订日期2018-08-22

基金项目 国家自然科学基金(11861029);海南省高等学校科学研究项目(重点项目)(Hnky2018ZD-6);海南省自然科学基金(面上项目)(118MS040);海南省自然科学基金(创新研究团队项目)(2018CXTD338)

作者简介:马丽(1979—),女,副教授,博士,硕士生导师(通讯作者. E-mail: malihnsd@163.com).

引用本文/Cite thispaper:马丽, 马瑞楠. 一类随机泛函微分方程带随机步长的EM逼近的渐近稳定[J]. 应用数学和力学, 2019,40(1): 97-107.MA Li, MA Ruinan. Almost sure asymptotic stability of the Euler-Maruyama method with random variable stepsizes for stochastic functional differential equations[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2019,40(1): 97-107.