引 言
流通量间断双曲守恒律方程的一般形式为
ut+f(u,θ(x))x=s(u,θ(x)),
(1)
解变量u=u(x,t)为未知的标量或矢量，流通量函数f(u,θ(x))依赖于与空间坐标x有关的标量或矢量θ(x), s(u,θ(x))为源项．在很多实际问题中，θ(x)多为关于x的间断函数，流通量关于空间依赖，本质上也是关于空间间断．
流通量间断问题存在于多孔介质渗流、水波、弹性波和交通流等问题中，应用广泛，已成为近年来研究的热点问题，涌现出不少研究成果[1-16]． 交通中流通量间断问题主要是由于道路的非均匀性引起的，非均匀道路一般指路面宽度或车道数变化、交通信号灯、出入匝道口和收费站等路段．目前研究流通量间断交通流模型主要有非均匀道路条件下的推广LWR模型[6-8,17-20]和多车种LWR模型[13,21-26]，此外，Zhang等[18]基于推广LWR模型，将Zhang模型[27]进行推广，获得了一个可变车道数和自由流速度的高阶交通流模型，称为推广Zhang模型．
对于流通量间断交通流模型，因其流通量函数关于空间间断的本质，经典的一阶单调格式及非线性WENO(weighted essentially non-oscillatory)和RKDG(Runge-Kutta discontinous Galerkin)高阶数值格式难以直接应用[6-8,22]．Zhang和Liu[6,8]讨论了方程(1)的齐次标量形式，通过对其特征线的研究，提出了将依赖于空间变化的参数θ(x)“凝固”在网格边界的δ映射算法，进而运用经典的Godunov、EO和LF等数值流通量，构造了流通量间断交通流模型的一阶数值格式，进一步地，将δ映射算法分别与WENO和RKDG方法结合，设计了流通量间断交流通模型的高阶WENO和RKDG格式，详见文献[7,9,16,23-25]．另外，Zhang等[22]视θ(x)为解变量，将流通量间断多车种LWR模型标准化为双曲守恒律方程，运用WENO格式求解．此外，Bale和Leveque[2]基于双曲守恒律和平衡律方程，将波传播算法与有限体积法结合，提出了一种求解方程(1)的高分辨率有限体积法．Bürger等[11,19,21]深入研究了流通量间断的运动学模型，并给出一组差分格式集．Jin等[10]引入道路供求基本图，并在供求空间中构建了求解推广LWR模型Riemann解的新框架．Wang[12]基于流通量间断双曲守恒律的标量形式，通过引入推广的EO流通量函数，提出了推广的EO单调差分格式．Chen等[13]提出了一种高分辨率松弛格式，用于求解流通量间断多车种LWR模型．Wiens等[14]运用柔化函数，导出了含单个间断点的分段线性流通量双曲守恒律Riemann问题的解析解．
尽管针对流通量间断交通流模型已有不少的研究工作，但多集中于研究描述平衡态交通流的推广LWR模型和多车种LWR模型，对非均匀道路条件下各向异性高阶交通流模型(简称各向异性模型)研究较少．而各向异性模型在交通流研究中有不可替代的优势，其可以描述平衡态与非平衡态交通流，无论在路段还是路网上，均能够很好地刻画实际交通现象．正因如此，各向异性模型一直受到很大的重视，对其数值算法的研究亦有不少工作：Lebacque等[28-30]利用供求思想，讨论了二阶交通流模型的Riemann解，并运用各向异性高阶交通流模型Riemann不变量的性质，证明了GSOM(generic second order traffic flow models)的解析解等价于LWR模型的分段解．Mammar等[31]给出ARZ (Aw-Rascle-Zhang)模型Riemann解和Godunov格式．Zhang等[32]运用CHO模型Riemann不变量性质，获得其Riemann解(Godunov流通量)，进一步推广获得了一系列近似Riemann解(EO和LF等数值流通量)及相应的一阶数值格式[33]． 此外，Qiao等[34]将上述各数值流通量分别与WENO和RKDG方法结合，获得求解CHO模型的高阶WENO和RKDG格式．
本文在上述研究工作的基础上，将各向异性CHO模型进行推广，获得非均匀道路条件下的流通量间断CHO模型，并基于其Riemann不变量性质，运用局部简化方法及δ映射算法，设计其一阶数值格式．第1节给出了流通量间断CHO模型;第2节设计了流通量间断CHO模型的一阶数值格式;第3节模拟了流通量间断CHO模型;第4节总结了全文．
1 流通量间断CHO模型及其特征结构
1.1 流通量间断CHO模型
Zhang等[32]在交通中引入伪密度“w”,提出CHO模型：
ρt+(ρV(w))x=0,
(2)
(3)
其中ρ=ρ(x,t)和w=w(x,t)分别表示位置x处、t时刻的密度和伪密度，伪密度w由已知函数v=V(w)转换得到，v为车流速度，V(w)满足一般速度-密度关系的基本性质，即V′(w)<0, 0≤w≤ρjam(ρjam为阻塞密度)，ve(ρ)为平衡速度-密度关系，τ为松弛时间．若ρ=w, V(w)=ve(ρ),则CHO模型(2)和(3)退化为LWR模型[35-36]，表明CHO模型与LWR模型是相容的．
Zhang等[18]给出可变车道数和自由流速度的LWR模型：
(aρ)t+(aρve(ρ,b))x=0,
(4)
其中a=a(x)为位置x处的车道数，b=b(x)=vm(x)/maxxvm(x), vm(x)是位置x处的自由流速度．称方程(4)为推广LWR模型(ELWR模型)．
结合文献[32]中运用LWR模型的加速度方程导出CHO模型中“动量”守恒方程(3)的思想，本文基于ELWR模型(4)及其加速度方程，导出可变车道数和自由流速度的CHO模型：
(aρ)t+(aρV(w,b))x=0,
(5)
(6)
其中∂V(w,b)/∂w为速度关于伪密度的偏导数，且∂V(w,b)/∂w<0．称方程组(5)和(6)为流通量间断CHO模型，简称为推广CHO模型(ECHO模型)，方程(5)和(6)分别为ECHO模型的质量守恒方程和“动量”守恒方程．若w=ρ, V(w,b)=ve(ρ,b),则ECHO模型退化为ELWR模型，表明ECHO模型与ELWR模型是相容的．
1.2 流通量间断CHO模型Riemann问题及其特征结构
记aρ
U, awW,则ECHO模型可写为
Ut+(UV(W/a,b))x=0,
(7)
(8)
若取
u=(U,W)T, θ(x)=(a,b)T,
f(u,θ(x))=(f1, f2)T=
(f1(U,W,a,b), f2(W,a,b))T=(UV(W/a,b),WV(W/a,b))T,
s(u,θ(x))=(s1,s2)T=(s1(U,W,a,b),s2(U,W,a,b))T=
则ECHO模型统一为流通量间断双曲守恒律方程(1)．其分量形式为
(9)
且满足
(10)
其中Z=W/U>1, 反映道路上伪密度W(=aw)与实际密度U(=aρ)的偏差．
固定a和b，ECHO模型的Jacobi矩阵为
其对应的特征值为
λ2=λ2(U,W,a,b)=V(W/a,b),
且λ1≤λ2=V(W/a,b),表明ECHO模型是各向异性模型．
在ECHO模型(9)中，令s2(U,W,a,b)=0,得其齐次形式:
(11)
若齐次形式的初始条件为
(12)
其中
u(x,0)=(U(x,0),W(x,0))T, u1=(U1,W1)T, u2=(U2,W2)T,
θ(x)=(a(x),b(x))T, θ1=(a1,b1)T, θ2=(a2,b2)T,
则称初值问题(11)和(12)为Riemann问题．
对方程(8)两端同乘(WV(W/a,b))W得
(WV(W/a,b))WWt+(WV(W/a,b))W(WV(W/a,b))x=
(WV(W/a,b))W s2(U,W,a,b)．
因
(WV(W/a,b))WWt=(WV(W/a,b))t, (WV(W/a,b))W=λ1,
则得ECHO模型的一特征方程为
(WV(W/a,b))t+λ1(WV(W/a,b))x=(WV(W/a,b))W s2(U,W,a,b)．
(13)
注意到方程(8)可以写成输运形式：
(UZ)t+(UZV(UZ/a,b))x=s2(U,UZ,a,b)．
(14)
将方程(7)代入方程(14)，得另一特征方程为
(15)
由特征方程(13)和(15)产生的特征场分别称为“1-特征场”和“2-特征场”：
① 1-特征场 特征值λ1,特征变量WV(W/a,b);
② 2-特征场 特征值λ2,特征变量Z．
根据特征线理论，特征变量Z是1-特征场的Riemann不变量[37]．特征值λ1和λ2的右特征向量分别为R1=(U,W)T和R2=(1,0)T,且
因λ1·R1≠0, 则1-特征场为非线性特征场，对应激波或稀疏波；λ2·R2=0, 则2-特征场为线性退化特征场，对应接触间断[38]．又因方程(14)是输运形式，Z沿特征线穿过1-特征场保持不变．
2 一阶数值格式
因ECHO模型是流通量间断双曲守恒律方程，可直接运用Zhang等提出的δ映射算法[6,8]求解，对应的一阶数值格式称为格式1．又因ECHO模型是各向异性交通流模型，利用其Riemann不变量性质，分别通过W=Z-U和U=W/Z-局部简化ECHO模型，获得流通量间断的简化模型1和2(Z-表示Z在界面上游的值)，再运用δ映射算法求解简化模型1和2，对应的一阶数值格式称为格式2和3． 以下将逐一介绍格式1～3．
给定空间计算区间[0,L]的均匀划分Ii
, Ii=(xi-1/2,xi+1/2), Δi=xi+1/2-xi-1/2,xi=(xi-1/2+xi+1/2)/2，i=1,2,…,N, 使集合Ii正好覆盖计算区间，且根据需要在边界外添加虚拟网格(如图1)，并给定时间计算区间[0,T]的划分Δtn
, Δtn=tn+1-tn(n=0,1,…,M-1)．取
(16)
或
(17)
式(16)和(17)分别对应有限差分和有限体格式．
图1 空间网格划分
Fig. 1 Cell division for space discretization
2.1 格式1
选取一个介于θi和θi+1的中间状态
其中
为连续函数，且满足相容性
若流通量间断双曲守恒律方程(1)为标量方程，θi+1/2常取为[8]
其中
表示θi状态的最大流量值．
对
映射定义为：取γ∈(-∞,1]最大，使
(18)
(19)
(20)
有解，且
(21)
其中γ最大值
依赖于
和bi+1/2．
对于上述的空间和时间网格划分，ECHO模型(9)的一阶数值格式为
(22)
其中
(23)
(24)
若模型方程为流通量间断标量守恒方程(如ELWR模型)，则可采用Godunov、EO和LF等经典数值流通量[6-7]．考虑到ECHO模型为方程组，
和
常采用简单适用的LF数值流通量：
(25)
(26)
(27)
若
则式(25)和(26)为ECHO模型的LLF(local Lax-Friedrichs)数值流通量．为保证格式的数值稳定性，式(22)的时间步长Δtn应满足CFL条件[39]：
Δtn=CΔi/αn, C≤1,
(28)
其中αn如式(27)所示．
2.2 局部简化
注意到ECHO模型(9)关于λ2特征速度的迎风性，且Z是1-特征场的Riemann不变量，在界面附近假定近似有Z=Z-,结合式(10)，ECHO模型局部简化为
(29)
或
(30)
称方程组(29)和(30)分别为ECHO模型的简化模型1和2．在简化模型1和2中，令s2(U,W,a,b)=0,得其齐次形式分别为
(31)
和
(32)
其中，方程组(31)的第一个方程为关于解变量U的流通量间断标量守恒方程，方程组(32)的第二个方程为关于解变量W的流通量间断标量守恒方程．
2.3 格式2
对前述的网格划分，
基于方程组(31)的第一个方程，对
映射定义为：取γ1∈(-∞,1]最大，使
(33)
有解，且
(34)
其中γ1最大值γ1max
依赖于
和bi+1/2, λ(U,Z-,a,b)=∂f1(U,Z-U,a,b)/∂U．
方程组(31)在网格边界xi+1/2处的数值流通量为
(35)
(36)
可取任一经典数值流通量，简述如下：
Godunov流通量
(37)
EO数值流通量
(38)
LF数值流通量
(39)
若
则式(39)为LLF数值流通量．
综上，基于方程组(29)，采用式(37)的Godunov流通量，可得ECHO模型(9)的一阶Godunov格式:
(40)
若将
分别替换为式(38)和(39)的EO和LF(或LLF)数值流通量，则得ECHO模型的一阶EO和LF(或LLF)格式．同样地，式(40)的Δtn需满足形如式(28)的CFL条件，此时αn应替换为
2.4 格式3
基于方程组(32)的第二个方程，对
映射定义为：取γ2∈(-∞,1]最大，使
(41)
有解，且
(42)
其中γ2最大值γ2max
依赖于
和bi+1/2, λ(W,a,b)=∂f2(W,a,b)/∂W．
方程组(32)在网格边界xi+1/2处的数值流通量为
(43)
(44)
可取任一经典数值流通量，简述如下：
Godunov流通量
(45)
EO数值流通量
max(∂f2(W,ai+1/2,bi+1/2)/∂W,0)dW+
min(∂f2(W,ai+1/2,bi+1/2)/∂W,0)dW+f1(W,ai+1/2,bi+1/2)|W=0；
(46)
LF数值流通量
(47)
若α=maxmin(W1,W2)≤W≤max(W1,W2)|∂f2(W,ai+1/2,bi+1/2)/∂W|,则式(47)为LLF数值流通量．
综上，基于方程组(30)，采用式(45)的Godunov流通量，可得ECHO模型(9)的一阶Godunov格式：
(48)
若将
分别替换为形如式(46)和(47)的EO和LF(或LLF)数值流通量，则得ECHO模型的一阶EO和LF(或LLF)格式．此时，CFL条件式(28)的αn应替换为
3 数 值 模 拟
算例1基于ELWR模型和ECHO模型齐次形式模拟由车道数变化引起的交通瓶颈现象，本质上是模拟Riemann问题．算例2基于ECHO模型模拟车道数及自由流速度变化的交通瓶颈问题．算例3基于ELWR和ECHO模型模拟交通扰动的演化．实际模拟中涉及的变量及参数均无量纲化．
3.1 算例1
设道路长度为L．取b(x)=1,车道数
(49)
单车道初始密度
ρ(x,0)=0.2ρjam,
(50)
其中ρjam为阻塞密度．
在ELWR模型中，取平衡速度-密度关系[6]：
ve(ρ,b)=vfb(1-ρ/ρjam),
(51)
其中vf为畅行速度，初始条件
U(x,0)=aρ(x,0)．
(52)
在ECHO模型中，取平衡速度-密度函数[40]
ve(ρ,b)=vfb((1+e(ρ/ρjam-0.25)/0.06)-1-3.72×10-6),
(53)
速度-密度函数[33-34]
(54)
初始条件
(55)
采用一阶外推边界条件，相关参数L=4 000 m,vf=20 m/s,Δi=10 m,Δtn=0.2 s．分别运用格式1和2中的一阶Godunov格式模拟ELWR和ECHO模型，模拟结果如图2所示．
(a) ELWR模型(b) ECHO模型
(a) The ELWR model(b) The ECHO model
图2 车道数由3变1的交通流密度
Fig. 2 Traffic flow densities for the lane number switching from 3 to 1
图2很好地捕捉了由ELWR模型和ECHO模型齐次形式Riemann问题所刻画的交通激波和稀疏波，且在车道数由3变1的间断处(x=0.3)上游形成向后传播的激波，下游形成向前传播的稀疏波，与实际交通瓶颈的上游形成堵塞，下游逐步疏散的情况吻合．对比图2(a)和(b)发现，ECHO模型与ELWR模型模拟图像形状相似，进而表明在非均匀道路条件下，由CHO模型推广所得的ECHO模型是合理有效的．
3.2 算例2
取车道数
(56)
及
(57)
平衡速度-密度函数、 速度-密度函数和初始条件分别见式(53)～(55)， 采用一阶外推边界条件， 相关参数L=10 000 m,vf=20 m/s,τ=30 s,Δi=10 m,Δtn=0.2 s．模拟结果如图3和图4所示．
运用格式2中的一阶Godunov格式模拟ECHO模型的结果如图3所示，它反映了车道数减少及自由流速度降低路段上交通流密度的变化过程．图3(a)和(b)显示在间断处(x=0.3)上游形成向后传播的时走时停波(宽幅移动阻塞)，且随着时间增加宽幅移动阻塞继续向后传播，如图3(b)和(c)，直至t≈1 950 s时形成如图3(d)所示的驻波，与实际交通比较吻合．图4为运用一阶Godunov、EO和LLF格式模拟ECHO模型在t=600 s的密度对比图，图4(a)和(b)分别对应格式2和3．由图4(a)或(b)知：无论是格式2或3，相应的一阶Godunov、EO和LLF格式模拟的结果差别不大，但数值误差依次增大，与理论分析相符，进而说明利用ECHO模型Riemann不变量设计的一阶数值格式2和3是合理有效的．
(a) t=400 s(b) t=500 s
(c) t=900 s(d) t=1 950 s
图3 交通瓶颈在不同时刻的密度变化(ECHO模型)
Fig. 3 Density changes with time at a bottleneck (ECHO model)
(a) 格式2(b) 格式3
(a) Scheme 2(b) Scheme 3
图4 交通瓶颈在t=600 s的密度对比图(ECHO模型)
Fig. 4 Densities from different schemes at a bottleneck for t=600 s (ECHO model)
3.3 算例3
取车道数a(x)为常数，b(x)为
(58)
扰动条件b(x)可视为道路上突然发生交通事故， 或是交通信号灯为红灯， 车辆不能通行．平衡速度-密度函数和速度-密度函数分别见式(53)和(54)，初始条件如式(55)，其中ρ(x,0)=0.25ρjam．采用周期边界条件，相关参数L=2 000 m,vf=20 m/s,τ=10 s,Δi=2 m,Δtn=0.04 s．模拟结果如图5和图6所示．
(a) ELWR模型(格式1)(b) ECHO模型(格式3)
(a) The ELWR model (scheme 1)(b) The ECHO model (scheme 3)
图5 密度随时间的演化(0 s≤t≤500 s, 一阶Godunov格式)
Fig. 5 Evolution of density with time (0 s≤t≤500 s, the first-order Godunov scheme)
(a) Δi=2 m,Δtn=0.04 s(b) Δi=1 m,Δtn=0.02 s
图6 ECHO模型在不同格式下的密度对比图(t=500 s)
Fig. 6 Densities from the ECHO model with different schemes (t=500 s)
图5(a)和(b)分别显示了ELWR和ECHO模型在初始扰动条件下交通流密度随时间的演化情况．图5(a)显示初始扰动导致交通在间断处上游形成高密度区域，但随着时间的增加逐步消失，最终回到平衡态．图5(b)显示初始扰动同样导致交通在间断处上游形成高密度区域，且随着时间的增加逐步演化为向后传播的时走时停波，表明ECHO模型能够刻画非平衡态交通流，且再现了与实际交通运行更加吻合的时走时停波现象．结合算例1和2，进一步表明ECHO模型既可以描述平衡态交通流，也可以描述非平衡态交通流，比仅能描述平衡态交通流的ELWR模型更有优势．
图6为运用不同的一阶LLF格式模拟ECHO模型在t=500 s的密度对比图．对比图6(a)和(b)不难发现，随着网格加密，3种格式模拟结果几乎无甚差别，如图6(b)；但在相对较粗网格下，3种格式模拟结果有一定差别，如图6(a)．相对于格式1，格式2和3的误差较小，进而表明格式2和3的逼近效果更好．此外，表1列出了运用不同一阶LLF格式模拟的时间，通过比较表明，格式2和3的计算效率比格式1更高．
表1 不同格式的运行时间(ECHO模型)
Table 1 Computation times with different schemes (ECHO model)
space step, time stepscheme 1 (LLF flux)scheme 2 (LLF flux)scheme 3 (LLF flux)Δi=2 m,Δtn=0.04 s111.77 s70.64 s55.39 sΔi=1 m,Δtn=0.02 s483.40 s275.28 s220.94 s
4 结 论
本文基于ELWR模型及其加速度方程导出可变车道数和自由流速度的ECHO模型，通过数值模拟验证了由CHO模型推广获得的ECHO模型是合理有效的，能够描述平衡态和非平衡态交通流，更好地反映了实际交通现象．同时，研究了求解ECHO模型的一阶数值格式．一方面，由于ECHO模型为流通间断双曲守恒律方程，运用δ映射算法设计得到一阶数值格式1，该格式可应用于求解一般的流通间断双曲守恒律方程，对于流通量间断的标量方程(如ELWR模型)，可设计经典的一阶Godunov、EO和LF(或LLF)格式，但对于矢量方程(或方程组)，因其流通量函数多为解变量的多元函数(如ECHO模型)，难以设计误差较小的一阶Godunov和EO格式，一般采用简单适用的一阶LF(或LLF)格式，只是误差相对较大．另一方面，又因ECHO模型为流通间断的各向异性交通流模型，利用其Riemann不变量性质，运用局部简化方法及δ映射算法，设计了求解ECHO模型的一阶数值格式2和3，且运用不同的一阶LLF格式模拟ECHO模型，格式2和3的逼近效果比格式1更好，计算效率也更高，但格式2和3仅适用于求解流通量间断的各向异性交通流模型．进一步的工作可考虑将设计ECHO 模型一阶数值格式的思想与高阶数值方法结合，设计ECHO模型的高阶数值格式；还可考虑在非均匀道路条件下推广其他各向异性交通流模型及其数值格式．
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