混凝土由于水分蒸发、干缩、泌水以及骨料和砂浆变形不一致等原因,界面处极易产生微裂纹[1-2].对于一般混凝土而言,骨料的强度相对较高,在外荷载作用下,原生裂纹在界面层中首先出现,然后沿界面进行扩展.在更高应力水平作用下,裂纹在砂浆基体中产生,其数量和大小随着应力水平的提高而逐渐增加,当基体和界面层中的裂纹连通起来,混凝土最终破坏[3-4].但目前基于理论对混凝土发生开裂时的强度研究较少.
随着细观夹杂理论的不断发展,在估计基体-夹杂型复合材料宏观性质方面,发展了众多细观力学模型.其中,具有代表性的模型有:广义自洽法[5-6]、Mori-Tanaka法[7]、相互作用直推估计法[8-9]等.IDD法是以三相模型为分析基础,从复合材料的拓扑结构和空间分布出发,通过叠加法进行转换,进而提出的一种新的考虑相互作用的估计复合材料有效性质的细观分析方法.它较好地综合了前述方法的优点,具有物理意义和几何含义明确、形式简洁的显式结构,且可以适用于含有各种几何形状、任意分布夹杂的多相复合材料.混凝土是典型的基体-夹杂型复合材料,因此细观夹杂理论也被广泛应用于研究混凝土的弹性模量、强度和渗透性等物理力学性质[10-13].除此之外,Prasad等[14]研究了弹性基体与夹杂体接触面之间弧形裂纹的开裂问题,为探究混凝土界面层弧形裂纹提供了一种有效方法.付云伟等[15]首先基于细观力学理论将外荷载进行等效,然后基于Prasad等[14]的弧形裂纹断裂理论研究了复合陶瓷夹杂界面的断裂问题.
本文在前人研究的基础上,基于细观力学与断裂力学相结合的方法探究界面层中弧形裂纹对混凝土开裂强度的影响,从而对进一步揭示混凝土的开裂破坏机理提供了一种理论分析途径,为实际工程减少混凝土骨料界面裂纹措施提供了理论支撑.
在细观层次上,通常将混凝土视为由粗骨料、水泥砂浆和界面层组成的三相复合材料,如图1所示.本文将界面层作为骨料与界面层的接触层来处理[16-17].为研究方便,做进一步假定: 1) 骨料随机分布在混凝土当中,忽略骨料形状的影响,将其简化为球形; 2) 不考虑水泥砂浆的初始缺陷,将骨料和水泥砂浆视为均质各向同性; 3) 混凝土中骨料和砂浆强度较高,在混凝土发生开裂之前均保持线弹性的力学特性.
基于IDD法,考虑混凝土中骨料颗粒的相互作用,将施加在混凝土表征体积元的远场外荷载等效为无限大基体中含单一骨料的等效外荷载.然后,将等效外荷载转化为最大和最小主应力,基于断裂力学理论研究界面层中弧形裂纹的应力强度因子,并根据复合型裂纹幂准则来判断界面层弧形裂纹是否发生开裂,从而得到混凝土的开裂强度.
图1 混凝土三相复合模型 图2 基于IDD法的混凝土细观力学模型
Fig. 1 The 3-phase composite model Fig. 2 The meso-mechanical model for for concrete concrete based on IDD method
本文将界面层作为接触层进行分析, 界面层可以有效地进行应力传递, 因此在细观力学分析中忽略界面层的体积分数, 将混凝土作为骨料和砂浆复合而成的两相材料, 具体如图2所示.
设混凝土中骨料的弹性模量、 Poisson比、 刚度和柔度张量分别为Ea, νa, La和Ma,砂浆的弹性模量、 Poisson比、 刚度和柔度张量分别为E0, ν0, L0和M0.假定混凝土所受的远场外荷载应力为σ∞(本文规定受拉为正), 对于球形骨料, 根据IDD法可求得砂浆和骨料的平均应力为[8]
σ0=(I-ΩaH)-1σ∞,
(1)
σa=(I+ΩaHa-0)-1(I-ΩaH)-1σ∞,
(2)
H=[(Hi)-1-Ωa]-1,
(3)
Hi=ca[(Ha-0)-1+Ωa]-1,
(4)
式中,下标a、0分别表示骨料相、砂浆相;H为等效混凝土相对砂浆相的柔度增量,H=Mhom-M0;Ωa为夹杂骨料的本征刚度,Ωa=L0(I-Sa);ca为混凝土中骨料的体积分数;Sa为骨料的Eshelby张量,与砂浆刚度L0和夹杂骨料的几何形状有关;Ha-0为夹杂骨料相对砂浆基体的柔度增量,Ha-0=Ma-M0.
在外荷载作用下,考虑骨料相互作用,基于IDD法可求得砂浆和骨料的局部应力场.根据IDD法的思想,此时可将混凝土中多骨料夹杂转化为无限大基体中含单一骨料夹杂体的情况,如图3所示.此时的等效外荷载σequi等于混凝土中等效砂浆的平均应力σ0,即
σequi=(I-ΩaH)-1σ∞,
(5)
式中,σequi为无限大砂浆基体中含单一骨料夹杂体的等效外荷载,其大小主要取决于远场外荷载σ∞、骨料体积分数、骨料和砂浆的弹性参数.
考虑骨料界面的弧形裂纹,根据以往混凝土力学性质的研究[18-19],可将混凝土三维问题转化为二维平面应变问题,如图4所示.平面应变下球形夹杂骨料相应地转化为圆柱体夹杂骨料,此时骨料的Eshellby张量按圆柱体解析解进行取值.在前面的基础上,基于IDD法可求得等效外荷载σequi,为借助Prasad弧形裂纹理论[14]进行研究,将等效应力转化主应力形式,即
(6)
式中,和分别为等效荷载的最大和最小主应力.
图3 基于IDD法的等效外荷载 图4 等效荷载作用下界面弧形裂纹模型
Fig. 3 The equivalent external load based Fig. 4 The interfacial arc crack model under on the IDD method the equivalent load
根据Prasad等[14]的研究,对于如图4所示的界面层弧形裂纹,在等效外荷载与作用下,可求得以复数形式表示的裂纹尖端应力强度因子为
(7)
式中
(8)
其中,E0,Ea,ν0,νa分别为砂浆和骨料的弹性模量和Poisson比,r为骨料的半径,2β为界面裂纹弧长在夹杂骨料圆上所对应的弧心角,N和T为正交的外载主应力,分别对应和为应力主轴和主坐标的夹角,如图4所示.根据文献[20-21]的研究,最大粒径骨料周围的界面弧形裂纹最先发生开裂,因此,文中骨料半径r取混凝土配合比中最大粒径骨料的半径.
根据文献[14],界面弧形裂纹发生开裂扩展时的能量释放率为
(9)
(10)
(11)
式中,μ0和μa分别为砂浆和骨料的剪切模量,为复数形式应力强度因子K的共轭.
于是,根据式(9)可推得Ⅰ型和Ⅱ型能量释放率分别为
(12)
(13)
根据式(7)可求得应力强度因子KⅠ和KⅡ,进而求得Ⅰ型和Ⅱ型能量释放率.在复杂外荷载作用下,裂纹常常处于拉剪或压剪复合状态,此时可应用复合型裂纹幂准则作为界面裂纹的开裂准则进行分析[22]:
(14)
式中,GⅠC和GⅡC分别为界面的Ⅰ型和Ⅱ型断裂韧度,α为该准则的材料常数.当裂纹处于压剪状态时,KⅠ≤0,此时常常取KⅠ为0进行分析[23].
当界面层中弧形裂纹的能量释放率满足式(14)时,可认为混凝土发生开裂破坏,此时所对应的外荷载σ∞为混凝土的开裂强度.
为验证上述弧形裂纹理论的有效性,本文将不同裂纹弧心角下界面裂纹应力强度因子的模型计算结果与有限元结果进行对比分析.以β=60°为例建立如图5所示的有限元分析模型.模型尺寸取0.2 m×0.2 m,骨料半径为0.01 m,骨料和砂浆的刚度分别取50 GPa和25 GPa,Poisson比分别取0.15和0.25,模型四周施加1 MPa的拉伸应力,界面裂纹位于骨料底部,分析结果见表1.
(a) 双向拉伸下的有限元模型 (b) 骨料周围局部有限元网格模型
(a) The finite element model under biaxial tension(b) The local finite element mesh model around aggregate
(c) 应力变形云图及裂尖应力变形放大图
(c) The stress-deformation contour and the enlarged crack tip stress-deformation contour
图5 含界面弧形裂纹有限元模型
Fig. 5 Finite element model of interface arc crack
注 为了解释图中的颜色,读者可以参考本文的电子网页版本.
从表中可以看出,解析式计算结果与数值模拟结果误差较小,证明了本文提出的解析计算式的有效性.当β大于90°时,解析式与数值模拟结果间的误差随着β的增大而逐渐增大,分析原因在于当β大于90°,即弧长超过半圆周长时,弧长占比比较大,严格意义来说属于孔洞问题,而解析解并未按孔洞材料来求解, 故势必会引起一定的误差, 但总体规律并不影响, 且实际混凝土骨料界面弧形裂纹一般较小, 远小于骨料周长, 故本文提出的解析解具有一定的应用价值.
表1 本文方法与有限元方法结果对比
Table 1 Comparison between the present results and FEM
β/(°)102030456090120150analytical solution KⅠA/(MN/m3/2)0.082 70.114 60.134 20.147 90.147 30.119 20.076 60.035 4finite element solution KⅠFE/(MN/m3/2)0.082 50.113 80.132 90.143 90.140 90.110 40.067 60.029 5relative error δ/%0.241 80.698 10.968 72.704 54.344 97.382 611.749 316.666 7
试验研究表明[24-25],混凝土开裂强度与骨料的含量、骨料的弹性模量、骨料粒径以及围压等有关.因此,本文基于提出的界面层弧形裂纹断裂模型进一步分析各因素对混凝土开裂强度的影响.
本次分析中砂浆基体的弹性模量E0取25 GPa,Poisson比ν0取0.25;骨料的弹性模量Ea一般在30~80 GPa[26],Poisson比νa取0.15;常用的混凝土骨料级配中最大骨料半径范围一般为10~20 mm,骨料含量ca一般在30%~60%之间.为分析方便,参数α取1,从而将式(14)化简为
并根据文献[27],可求得基于最大拉应力理论的Ⅱ型断裂韧度与Ⅰ型断裂韧度的比值为
远场外荷载σ∞分别取单轴拉荷载3.5 MPa和单轴压荷载-20 MPa,并以复合型裂纹幂准则中0.75GⅠ+GⅡ作为反映混凝土开裂强度变化规律的指标,其值越大,混凝土越易发生开裂破坏.
(a) 外荷载为单轴拉应力(b) 外荷载为单轴压应力
(a) Under the uniaxial tensile stress (b) Under the uniaxial compressive stress
图6 0.75GⅠ+GⅡ随裂纹位置的变化规律
Fig. 6 The variation of 0.75GⅠ+GⅡ with the crack position
当骨料弹性模量Ea取50 GPa,骨料半径r取10 mm,骨料体积分数ca取40%时,分析混凝土开裂强度随裂纹位置的变化规律.以φ的大小来体现裂纹在骨料周围的位置,如图4所示.
从图6(a)和6(b)可以看出,界面裂纹位置对混凝土受拉和受压开裂强度影响很大.当弧心角较小时,φ等于0°所对应的界面裂纹最易发生受拉开裂破坏,φ等于0°和45°所对应的界面裂纹最易发生受压开裂破坏;当弧心角较大时,φ等于45°所对应的界面裂纹最易发生受拉和受压开裂破坏.因此后面分析中分别取φ为0°和45°进行分析.当φ等于0°时,裂纹中心处的切线方向与最大主应力垂直;当φ等于45°时,裂纹中心处的切线方向与最小主应力呈45°夹角.
当骨料弹性模量Ea取50 GPa,骨料半径r取10 mm,骨料体积分数ca取40%时,分析界面弧形裂纹应力强度因子、能量释放率0.75GⅠ+GⅡ随界面裂纹弧心角的变化规律.弧心角大小表示裂纹相对长度.
(a) φ=0°外荷载为单轴拉应力 (b) φ=0°外荷载为单轴压应力
(a) φ=0°, under the uniaxial tensile stress(b) φ=0°, under the uniaxial compressive stress
(c) φ=45°外荷载为单轴拉应力 (d) φ=45°外荷载为单轴压应力
(c) φ=45°, under the uniaxial tensile stress(d) φ=45°, under the uniaxial compressive stress
图7 KⅠ,KⅡ和0.75GⅠ+GⅡ随β的变化规律
Fig. 7 The variations of KⅠ,KⅡ and 0.75GⅠ+GⅡ with β
如图7所示,当混凝土受拉或受压时,界面层弧形裂纹的应力强度因子随弧心角的变化均呈周期变化.以0.75GⅠ+GⅡ作为开裂指标,随着弧心角β的增大,0.75GⅠ+GⅡ均先增大后减小. 1) 图7(a)和7(b)为φ=0°,即裂纹与最大主应力垂直的情况.当受拉时,0.75GⅠ+GⅡ在β等于60°附近取得最大值,并在β等于160°左右出现小的波动;当受压时,0.75GⅠ+GⅡ在β等于70°附近取得最大值. 2) 图7(c)和7(d)为φ=45°,即裂纹与最小主应力呈45°夹角的情况.当受拉时,0.75GⅠ+GⅡ在β等于120°附近取得最大值;当受压时,0.75GⅠ+GⅡ在β等于20°左右出现了小的波动,并在β等于120°附近取得最大值.
从裂纹相对长度来说,根据图7可以得出随着弧形裂纹长度的增加,混凝土受拉和受压开裂强度均先减小后增大.对于与最大主应力垂直的界面裂纹,当裂纹长度为骨料周长的1/3时,混凝土最易发生受拉开裂破坏,当裂纹长度为骨料周长的7/18时,混凝土最易发生受压开裂破坏;对于与最小主应力呈45°夹角的界面裂纹,裂纹长度为骨料周长的2/3时,混凝土最易发生受拉和受压开裂破坏.
当骨料弹性模量Ea取50 GPa,骨料半径r取10 mm时,分析混凝土开裂强度随骨料含量的变化规律,如图8所示.
(a) φ=0°外荷载为单轴拉应力 (b) φ=0°外荷载为单轴压应力
(a) φ=0°, under the uniaxial tensile stress (b) φ=0°, under the uniaxial compressive stress
(c) φ=45°外荷载为单轴拉应力 (d) φ=45°外荷载为单轴压应力
(c) φ=45°, under the uniaxial tensile stress (d) φ=45°, under the uniaxial compressive stress
图8 0.75GⅠ+GⅡ随ca的变化规律
Fig. 8 The variation of 0.75GⅠ+GⅡ with ca
当混凝土受拉或受压时,不同骨料体积分数下弧形裂纹的能量释放率0.75GⅠ+GⅡ随β的变化规律基本一致,其峰值点对应的裂纹弧心角随荷载类型及裂纹位置的不同稍有不同.从图8中峰值附近分布规律可以看出,能量释放率0.75GⅠ+GⅡ随骨料体积分数的增加而减小,因此增加骨料体积分数有利于提高混凝土的开裂强度.
当骨料半径r取10 mm,骨料体积分数ca取40%时,分析混凝土开裂强度随骨料弹性模量的变化规律,如图9所示.
(a) φ=0°外荷载为单轴拉应力 (b) φ=0°外荷载为单轴压应力
(a) φ=0°, under the uniaxial tensile stress (b) φ=0°, under the uniaxial compressive stress
(c) φ=45°外荷载为单轴拉应力 (d) φ=45°外荷载为单轴压应力
(c) φ=45°, under the uniaxial tensile stress (d) φ=45°, under the uniaxial compressive stress
图9 0.75GⅠ+GⅡ随Ea的变化规律
Fig. 9 The variation of 0.75GⅠ+GⅡ with Ea
1) 图9(a)和9(b)为φ=0°,即裂纹与最大主应力垂直的情况.从图中可以看出,当混凝土受拉或受压时,界面层弧形裂纹的能量释放率0.75GⅠ+GⅡ的峰值点随着骨料弹性模量增大而减小,但峰值点所对应的裂纹弧心角随着骨料弹性模量的增大而增大.2) 图9(c)和9(d)为φ=45°,即裂纹与最小主应力呈45°夹角的情况.从图中可以看出,当混凝土受拉或受压时,界面层弧形裂纹的能量释放率0.75GⅠ+GⅡ的峰值点随着骨料弹性模量增大而增大,峰值点所对应的裂纹弧心角也随着骨料弹性模量的增大而增大.因此,当β小于120°左右,即裂纹长度小于骨料周长的2/3时,在相同弧心角情况下,能量释放率随骨料弹性模量增大稍减小,而当裂纹长度大于骨料周长的2/3时,能量释放率随骨料弹性模量增大而稍增大.
综合图9可以得出,不同弧心角下的混凝土开裂强度既可能随着骨料弹性模量的增大而增大,也可能随着骨料弹性模量的增大而减小.当混凝土养护条件较好,界面层中弧形裂纹长度较小时,对于与最大主应力垂直的界面裂纹,此时增大骨料的弹性模量有利于提高混凝土开裂强度.
当骨料弹性模量Ea取50 GPa,骨料体积分数ca取40%,分析混凝土开裂强度随骨料粒径的变化规律,如图10所示.
(a) φ=0°外荷载为单轴拉应力 (b) φ=0°外荷载为单轴压应力
(a) φ=0°, under the uniaxial tensile stress (b) φ=0°, under the uniaxial compressive stress
(c) φ=45°外荷载为单轴拉应力 (d) φ=45°外荷载为单轴压应力
(c) φ=45°, under the uniaxial tensile stress (d) φ=45°, under the uniaxial compressive stress
图10 0.75GⅠ+GⅡ随r的变化规律
Fig. 10 The variation of 0.75GⅠ+GⅡ with r
在裂纹弧心角相同的前提下,当混凝土受拉或受压时,不同裂纹位置的界面层弧形裂纹的能量释放率0.75GⅠ+GⅡ均随着骨料粒径的增大而显著增大,但裂纹位置不同,其峰值点所对应的裂纹弧心角不同,即存在最不利裂纹长度.因此,从图中可以得出,混凝土开裂强度随骨料粒径的整体变化规律保持不变,减小骨料粒径,改善混凝土中的骨料级配可以有效地提高混凝土的开裂强度,这也解释了高强混凝土普遍采用小粒径骨料的原因.
当骨料弹性模量Ea取50 GPa,骨料半径r取10 mm,骨料体积分数ca取40%时,分析混凝土开裂强度随骨料周围侧向应力的变化规律.
从图11中可以看出,当混凝土受拉或受压,裂纹弧心角相同的前提下,不同裂纹位置的界面层弧形裂纹0.75GⅠ+GⅡ随侧向应力的变化规律基本相同.如图11(a)和11(c)所示,当混凝土受拉,裂纹弧心角相同的前提下,界面层弧形裂纹的能量释放率0.75GⅠ+GⅡ随着侧向拉应力的增大而减小,但随着侧向压应力的增大而增大,且对于与最大主应力垂直的裂纹,侧向压应力会使β等于160°时的波动增大.如图11(b)和11(d)所示,当混凝土受压,裂纹弧心角相同的前提下,界面层弧形裂纹的能量释放率0.75GⅠ+GⅡ随着侧向拉应力的增大而增大,但随着侧向压应力的增大而减小,弧形裂纹的能量释放率变化规律保持不变.
(a) φ=0°外荷载为单轴拉应力 (b) φ=0°外荷载为单轴压应力
(a) φ=0°, under the uniaxial tensile stress (b) φ=0°, under the uniaxial compressive stress
(c) φ=45°外荷载为单轴拉应力 (d) φ=45°外荷载为单轴压应力
(c) φ=45°, under the uniaxial tensile stress (d) φ=45°, under the uniaxial compressive stress
图11 0.75GⅠ+GⅡ随侧向压力的变化规律
Fig. 11 The variation of 0.75GⅠ+GⅡ with lateral pressure
因此,综合图11表明,骨料周围施加同号应力可以有效地提高混凝土的开裂强度.反之,施加异号应力会降低混凝土的开裂强度.
本文从细观角度将混凝土视作是由粗骨料和水泥砂浆组成的两相复合材料,并根据界面层的特点将界面层视为接触层,建立了混凝土开裂破坏分析模型,并基于数值模型进行了验证,基于本文模型探究了界面裂纹位置、界面裂纹弧心角、骨料体积分数、骨料弹性模量、骨料粒径和侧向应力对混凝土开裂强度的影响.主要结论为:
1) 界面层中弧形裂纹位置对混凝土开裂强度影响显著.对于一般情况而言,当裂纹与最大主应力垂直或与最小主应力呈45°夹角时,骨料周围弧形裂纹最易开裂.除此之外,在其他参数一定的情况下,随着弧心角β的增大,即裂纹长度增加,混凝土受拉和受压开裂强度先减小后增大,且均存在最不利的裂纹长度.
2) 混凝土开裂强度随着骨料体积分数的增加而增大,但随着骨料粒径的增大而减小,通过减小骨料粒径和增加骨料的体积分数,可以有效地提高混凝土的开裂强度.界面层中裂纹弧心角不同,裂纹位置不同,骨料弹性模量对开裂强度的影响也不同.对于与最大主应力垂直的界面裂纹,当裂纹弧心角较小时,增大骨料的弹性模量有利于提高混凝土开裂强度.
3) 当骨料周围承受同号应力时,侧向应力的增加可以提高混凝土的开裂强度.反之,异号的侧向应力会降低其开裂强度.
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