引 言
非线性问题在学术界的研究中十分活跃[1].近来出现了许多渐近方法.许多学者，例如，De Jager等[2]、Barbu等[3]、Chang等[4]、Martinez等[5]、Kellogg等[6]、Tian等[7]、Skrynnikov[8]、Samusenko[9]做了许多工作.Mo和Chen等用伸长变量、多重尺度、匹配和微分不等式等方法研究了一类奇摄动非线性微分边值问题、反应扩散问题、椭圆型问题、双曲型初始-边值问题、生物数学问题、冲击波问题、孤立子问题和大气物理问题等[10-24].本文将讨论一类催化反应过程中的一类非线性问题，利用微分不等式等理论，得到了问题解的渐近估计.
现研究以下在催化反应理论中出现的非线性微分方程Robin边值问题[5-6]:
(1)
(2)
(3)
其中式(1)为压片内催化的扩散与反应间质量平衡的方程，x是压片上的位置，z是反应的浓度，yk(x)∈C2[a,b](k=1,2,…,m)为与催化浓度相关位置的函数，ε,μ为摄动参数，它们与扩散系数和反应速率相关.本文将应用奇异摄动方法构造催化反应问题(1)～(3)的形式渐近解，然后利用微分不等式理论证明该渐近解的一致有效性.
假设:
(H1) 正的小参数ε,μ满足
(H2) 存在正常数c,使得
1 外 部 解
由奇异摄动理论，催化反应奇摄动问题(1)～(3)的退化情形为
(4)
显然退化方程(4)的解为
z(x)=yk(x), a<x<b, 1≤k≤m.
不失一般性，下面不妨考虑退化解为
(5)
的情形.
设Robin问题(1)～(3)的外部解Z(x)的形式展开式为
(6)
将式(6)代入式(1)，等式的右端按ε,μ的幂展开，比较ε0μ0的同次幂项.考虑到式(5)，显然可得
Z00(x)=y1(x), a≤x≤b.
(7)
将式(6)、(7)代入式(1)，比较εiμj(i+j≠0)的同次幂项得
(8)
其中
为依次已知的函数.
假设带有负下标的项均设为零.由方程(8)，可依次得到Zij(x)(i， j=0,1,…,i+j≠0).再将求得的Zij(x)(i， j=0,1,…)代入式(6)，便得到了催化反应微分方程Robin边值问题(1)～(3)的外部解.但由式(6)决定的外部解未必满足Robin边界条件式(2)和(3).为此我们还需要分别构造在x=a和x=b邻域的边界层校正项.
2 第一边界层校正项
由奇异摄动理论可知[4]，奇异摄动微分方程Robin边值问题(1)～(3)解的第一边界层校正项U由式(1)、(2)来决定.先作伸长变量变换:
(9)
并设
z=Z+U.
(10)
将式(9)、(10)代入式(1)、(2):
(11)
(12)
再设
(13)
将式(13)代入式(11)、(12)，等式右端按ε,σ的幂展开，比较εiμj的同次幂项,可得
(14)
(15)
其中
而
由式(14)、(15)，便可依次地求出解Uij(τ)(i， j=0,1,…).
由假设不难知道Uij(τ)(i， j=0,1,…)具有如下性态:
(16)
其中δij(i， j=0,1,…)为充分小的正常数.再将Uij(τ)(i， j=0,1,…)代入式(13)，便得到奇异摄动微分方程Robin边值问题(1)～(3)解的第一边界层校正项U.
3 第二边界层校正项
由奇异摄动理论，奇异摄动微分方程Robin边值问题(1)～(3)解的第二边界层校正项V由式(1)、(3)来决定.作伸长变量变换:
(17)
并设
z=Z+V.
(18)
将式(17)、(18)代入式(1)、(3):
(19)
(20)
再设
(21)
将式(21)代入式(19)、(20)，等式右端按σ,μ的幂展开，比较σiμj的同次幂项,可得
(22)
(23)
其中
而
由式(22)、(23)，便可依次地求出具有如下性态
(24)
的解Vij(τ)(i， j=0,1,…)，其中
为充分小的正常数.再将Vij(ρ)(i， j=0,1,…)代入式(21)，便得到奇异摄动微分方程Robin边值问题(1)～(3)解的第二边界层校正项V.
由式(6)、(13)、(21)和式(10)、(18)，可以得到奇异摄动微分方程Robin边值问题(1)～(3)解z(x)的如下形式渐近展开式:
a≤x≤b， 0<ε,μ,σ=ε/μ≪1.
(25)
4 渐近解及其一致有效性
现讨论由式(25)表示的微分方程Robin边值问题(1)～(3)解的一致有效性.
定理1 在假设(H1)、(H2)下，奇异摄动非线性催化反应微分方程Robin问题(1)～(3)有解z(x)∈C2[a,b],并具有如下形式的一致有效的渐近展开式：
a≤x≤b， λ=max(ε,μ,σ), 0<ε,μ,σ=ε/μ≪1.
(26)
证明 首先在x∈[a,b]上作辅助函数:
(27)
(28)
其中γ为足够大的待定正常数.
显然
α(x)≤β(x), x∈[a,b].
(29)
由式(27)，并考虑到式(12)和(15)，并由假设，对足够小的ε,μ,存在正常数D1使得
(D1-γ)λ2M+1.
选取γ≥D1,由上式有
(30)
同理可得
(31)
由式(27)，并考虑到式(20)、(23)，并由假设，对足够小的ε,μ,存在正常数D2，使得
(D2-γ)λ2M+1.
选取γ≥D2,由上式有
(32)
同理可得
(33)
下面来证明
(34)
(35)
事实上，由关系式(27)及式(16)、(24)，对于足够小的ε,μ,存在一个正常数D3,使下式成立:
(D3+c)λ2M+1-γλ2M+1=(D3+c-γ)λ2M+1.
选取γ≥D3+c,由上式知式(34)成立.
同理可证式(35)成立.
由关系式(29)～(35)和微分不等式理论[4]，奇异摄动非线性催化反应微分方程Robin问题(1)～(3)存在一个解z(x)∈C2[a,b],并由式(27)、(28)，有
α(x)≤z(x)≤β(x), a≤x≤b.
于是问题解z(x)的一致有效的渐近估计式(26)成立.定理证毕.
5 结 论
近来对非线性问题优化了许多渐近方法.许多学者做了很多的工作.本文讨论了一类催化反应过程中的一类非线性Robin边值问题，利用微分不等式等理论，得到了问题解的渐近解析表示式并证明了它的一致有效性.本文所述的内容思路明确、方法简单.并且还能通过该渐近解的表示式，继续进行解析运算，从而进一步得到相关物理量的渐近表示式.这是运用简单的数值模拟计算所不能的.因此本文通过对一类奇异摄动非线性催化反应微分方程Robin问题求得其渐近解的研讨，具有较广泛的研究前景.
致谢 本文作者衷心感谢亳州学院教学研究重点项目(2018zdjy01)和亳州学院自然科学研究重点项目(BYZ2018B03)对本文的资助.
[1] DELBOSCO D. Existence and uniqueness for nonlinear fractional differential equation[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996, 204(2): 609-625.
[2] DE JAGER E M, JIANG F. The Theory of Singular Perturbation[M]. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1996.
[3] BARBU L, MOROSANU G. Singularly Perturbed Boundary-Value Problems[M]. Basel: Birkhauserm Verlag AG, 2007.
[4] CHANG K W, HOWES F A. Nonlinear Singular Perturbation Phenomena: Theory and Applications[M]. Springer-Verlag, 1984.
[5] MARTINEZ S, WOLANSKI N. A singular perturbation problem for a quasi-linear operator satisfying the natural condition of Lieberman[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2009, 41(1): 318-359.
[6] KELLOGG R B, KOPTEVA N. A singularly perturbed semilinear reaction-diffusion problem in a polygonal domain[J]. Journal of Differential Equations, 2010, 248(1): 184-208.
[7] TIAN C R, ZHU P. Existence and asymptotic behavior of solutions for quasilinear parabolic systems[J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2012, 121(1): 157-173.
[8] SKRYNNIKOV Y. Solving initial value problem by matching asymptotic expansions[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2012, 72(1): 405-416.
[9] SAMUSENKO P F. Asymptotic integration of degenerate singularly perturbed systems of parabolic partial differential equations[J]. Journal of Mathematical Sciences, 2013, 189(5): 834-847.
[10] MO J Q, CHEN X F. Homotopic mapping method of solitary wave solutions for generalized complex Burgers equation[J]. Chinese Physics B, 2010, 19(10): 100203.
[11] MO J Q, LIN W T. A class of nonlinear singularly perturbed problems for reaction diffusion equations with boundary perturbation[J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica, 2006, 22(1): 27-32.
[12] MO J Q. A class of singularly perturbed differential-difference reaction diffusion equation[J]. Advance in Mathematics, 2009, 38(2): 227-231.
[13] MO J Q. Homotopiv mapping solving method for gain fluency of a laser pulse amplifier[J]. Science in China(Series G): Physics, Mechanics and Astronomy, 2009, 52(7): 1007-1070.
[14] MO J Q, LIN W T. Asymptotic solution of activator inhibitor systems for nonlinear reaction diffusion equations[J]. Journal of Systems Science and Complexity, 2008, 20(1): 119-128.
[15] MO J Q. Approximate solution of homotopic mapping to solitary wave for generalized nonlinear KdV system[J]. Chinese Physics Letters, 2009, 26(1): 010204.
[16] MO J Q. A singularly perturbed reaction diffusion problem for nonlinear boundary condition with two parameters[J]. Chinese Physics, 2010, 19(1): 010203.
[17] MO J Q, LIN W T. Generalized variation iteration solution of an atmosphere-ocean oscillator model for global climate[J]. Journal of Systems Science and Complexity, 2011, 24(2): 271-276.
[18] 莫嘉琪, 林万涛, 杜增吉. 双参数非线性高阶椭圆型方程的奇摄动解[J]. 系统科学与数学, 2013, 33(2): 217-221.(MO Jiaqi, LIN Wantao, DU Zengji. Singularly perturbed solution for nonlinear higher order elliptic equations with two parameters[J]. Journal of Systems Science and Mathematical Sciences, 2013, 33(2): 217-221.(in Chinese))
[19] 冯依虎, 陈怀军, 莫嘉琪. 一类非线性奇异摄动自治微分系统的渐近解[J]. 应用数学和力学, 2018, 39(3): 355-363.(FENG Yihu, CHEN Huaijun, MO Jiaqi. Asymptotic solution to a class of nonlinear singular perturbation autonomic differential system[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2018, 39(3): 355-363.(in Chinese))
[20] 冯依虎, 刘树德, 莫嘉琪. 一类两参数非线性反应扩散方程奇摄动问题的广义解[J]. 应用数学和力学, 2017, 38(5): 561-569.(FENG Yihu, LIU Shude, MO Jiaqi. Generalized solution to a class of singularly perturbed problems for the nonlinear reaction diffusion equation with two parameters[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2017, 38(5): 561-569.(in Chinese))
[21] 史娟荣, 朱敏, 莫嘉琪. 一类Fermi气体光晶格非线性轨线模型[J]. 应用数学和力学, 2017, 38(4): 477-485.(SHI Juanrong, ZHU Min, MO Jiaqi. Study of nonlinear path curve model for a class of Fermi gases optical lattices[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2017, 38(4): 477-485.(in Chinese))
[22] XU J Z, ZHOU Z F. Existence and uniqueness of anti-periodic solutions to an nth-order nonlinear differential equation with multiple deviating arguments[J]. Annals of Differential Equations, 2012, 28(1): 105-114.
[23] 徐建中, 周宗福. 一类四阶具有多个偏差变元p-Laplacian中立型微分方程周期解的存在性[J]. 重庆工商大学学报(自然科学版), 2012, 29(11): 9-16.(XU Jianzhong, ZHOU Zongfu. The existence of periodic solutions for a class of fourth-order p-Laplacian neutral functional differential equation with multiple deviating arguments[J]. Journal of Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition), 2012, 29(11): 9-16.(in Chinese))
[24] XU J Z, MO J Q. The solution of disturbed time delay wind field system of ocean[J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Nankaiensis, 2019, 52(1): 59-67.