引 言

近些年随着材料科学的快速发展,功能梯度材料(functionally graded material, FGM)和纳米材料在航空航天、医疗器械等众多领域已经得到广泛应用,有了很多研究成果．周平和沈纪苹等[1]基于Levinson三阶剪切变形理论,研究了功能梯度轴对称圆板的自由振动及屈曲特征值问题;李清禄和王文涛等[2]研究了变厚度功能梯度圆板在热环境中的自由振动问题;Mahinzare等[3-4]讨论了不同因素对旋转功能梯度圆板的影响程度;唐光泽和姚林泉等[5]根据非局部理论和Kelvin黏弹性理论,针对黏弹性纳米杆自由振动和波传播的轴向动力学问题进行了研究;徐晓建和邓子辰[6]通过非局部理论和表面效应模型，得到了非局部因子和表面能与微纳米传感器振动特性的影响关系．

同时，环板作为一种常见而重要的基本结构，在现代工程和高科技领域处处可见，所以对其力学行为的分析也成为一个重要的研究方向，国内外学者对此进行了大量的研究．王铁军和马连生等[7]基于一阶剪切变形理论，研究了热-机载荷作用下功能梯度中厚圆/环板的轴对称弯曲；张莹和梅靖等[8]采用推广后的England-Spencer板理论，研究了功能梯度圆板和环板受周边力作用的三维弹性场；彭旭龙和李显方[9]对材料参数沿径向任意变化的功能梯度圆环进行了热弹性分析，得到了不同因素对圆环应力和位移变化的影响；Efraim等[10]利用一阶剪切变形理论，讨论了功能梯度环板包括剪切变形效应在内的自由振动；Hosseini-Hashemi等[11]采用微分求积法分析了径向功能梯度环板和环形扇形薄板在均匀面内载荷作用下，在弹性地基上的屈曲和自由振动行为．此外，也有大量文献针对环板的面内振动进行了研究[12-17]．

旋转类纳米环板在微纳米结构(如纳米马达轴上的圆盘)中具有实际应用，又由于使用环境会受到温度的影响，本文对旋转功能梯度纳米环板在热环境中的振动频率进行研究．基于非局部弹性理论和Kirchhoff薄板理论，通过Hamilton原理得到在温度变化和做旋转运动引起的面力作用下功能梯度纳米环板的径向和横向耦合运动微分方程；再通过平面应力问题，得到旋转功能梯度纳米环板的轴对称中面内力；然后通过微分求积法对得到的变系数微分方程进行离散并求解；最后，通过数值计算结果揭示各个因素对环板无量纲固有频率的影响程度．

1 力学模型以及基本方程

考虑内径为r1,外径为r2,厚度为h，以速度Ω做旋转运动的功能梯度纳米环板，建立(r,θ,z)极坐标系，(r,θ)坐标面与几何中面重合，如图1所示．

1.1 材料属性分布规律

假设功能梯度纳米环板的主要材料性质(如弹性模量E、质量密度ρ、热膨胀系数α)沿厚度方向按幂函数规律连续变化，同时各个参数是依赖于温度T的，即可表示为[2]

(1)

其中，k为材料的功能梯度参数，下标c表示上表面(z=h/2)材料的属性，下标m表示下表面(z=-h/2)材料的属性．考虑材料物理属性随温度的变化，可将其表示为

P(T)=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3),

(2)

其中，P0，P-1 ，P1 ，P2 ，P3为与温度相关的系数，一般由实验直接给出．由于功能梯度环板的Poisson比随板厚和温度的变化不大，因此Poisson比μ被看作常数．

1.2 非局部弹性理论

根据Eringen的非局部弹性理论，连续体内任意一点的应力取决于连续体内所有点处的应变．在不计体力的情况下，对于轴对称环板结构，线弹性非局部结构的本构方程为[18-19]

[1-(e0a)22]σ=σ′,

(3)

式中，为Laplace算子，σ=(σr σθ)和σ′=(σ′r σ′θ)分别表示非局部应力和经典应力，e0a代表反应小尺度效应的非局部参数，e0为纳米材料常数，a为纳米材料的内特征长度(如晶格常数、碳碳单键键长等)．

1.3 控制方程

基于Kirchhoff板理论，功能梯度纳米环板的径向位移u和横向位移w可分别表示为[20]

(4)

其中，u0,w0表示几何中面的径向和横向位移，t表示时间变量．

由式(4)可得功能梯度纳米环板的几何方程为

(5)

根据物理方程及式(5)，功能梯度纳米环板的经典径向应力和环向应力可分别表示为

(6)

(7)

将式(6)和(7)沿板的厚度进行积分可分别得到薄膜力(N′r,N′θ)和弯矩(M′r,M′θ)：

(N′r M′r)T=σ′r(1 z)Tdz=

(8)

(N′θ M′θ)T=σ′θ(1 z)Tdz=

(9)

式中各个参数表达式为

(10)

其中

(11)

将式(8)和(9)代入非局部理论公式(3)中，可得

[1-(e0a)22](Nr Nθ Mr Mθ)=(N′r N′θ M′r M′θ)，

(12)

其中，Nr,Nθ,Mr,Mθ为非局部理论下的薄膜力和弯矩．

根据Hamilton原理，有

δ(-U+T+W)dt=0,

(13)

其中，内能的变分、动能的变分以及由温度变化和旋转运动引起的势能[3-4]变分分别为

(14)

(15)

(16)

其中，a4=(k+ρc/ρm)/(1+k),NRT=NR+NT,NR和NT分别为由旋转运动引起的径向拉压力和由温度变化产生的热内力．

由于径向频率比横向频率要低得多，因此忽略径向振动的惯性力，将式(14)～(16)代入式(13)可得旋转功能梯度纳米环板在经典力学下的控制方程:

(17)

(18)

将式(12)代入方程(17)、(18)中并消去径向位移可得热环境中旋转功能梯度纳米环板非局部理论下的控制方程为

(19)

式(16)中的热内力NT为[4]

(20)

其中，α(z,T)为热膨胀系数，ΔT为温度差．为了后面的无量纲化，在此设ΔT/(1 K)为无量纲温差，α×(1 K)为无量纲线膨胀系数．实质上，αΔT为温差引起的线膨胀率不会改变．数值计算中仍用ΔT和α(z,T)表示无量纲化的温差和热膨胀系数．

由旋转运动引起的径向拉压力NR可通过弹性力学的平面应力问题进行求解．对于环板，考虑环板中某一层薄板平面的弹性模量为E，密度为ρ,径向位移为ur,根据平面应力问题，由径向的平衡微分方程、物理方程、几何方程可得应力和径向位移ur的表达式为[21]

(21)

(22)

式中，A，B为积分常数，根据边界条件来确定．当环板内外边界为不可移简支或固支时，此时的边界条件为ur|r=r1，r2=0,则依据式(21)和(22)可得到

(23)

当边界条件为内径固支、外径自由时，边界条件为ur|r=r1=0，σr|r=r2=0,此时有

(24)

1.4 无量纲控制方程

引入以下无量纲量：

(25)

则由方程(19)可得到无量纲控制方程为

(26)

其中，为无量纲Laplace算子．

对于无量纲控制方程(26)，设

(27)

其中，为振动模态函数，ω为无量纲振动频率．将式(27)代入无量纲控制方程(26)中，可得

a4ω2(1-τ22)W=0．

(28)

对于控制方程(28)，由于纳米非局部参数τ及旋转和温度变化引起的无量纲轴力的函数)的存在，使得对该高阶变系数微分方程的求解变得更为困难．本文采用微分求积法(differential quadrature method，DQM)进行离散并求解．DQM是将函数在求解区域内的每个点处的导数值用全部区域内若干个节点上的函数值的加权线性和来近似表示．利用DQM可以将微分方程及边界条件转变为用节点处函数值表示的一组代数方程．根据线性代数理论，系数行列式等于零是方程组有非零解的充分必要条件，故可得广义特征方程，从而求出特征值．离散方案可参考文献[22]．

2 数值计算与分析

首先，为了验证上述方法的有效性，计算无旋转均匀纳米环板自由振动问题．计算了取不同非局部参数时，内外边固支(C-C)和内边固支、外边不可移简支(C-S)这两种边界条件下的一阶无量纲固有频率，并与文献[23]用辛方法得到的结果进行对比(如表1所示)，数值结果十分接近，计算中取节点数N=18．验证了本文的数值方法和计算结果在这种情况下是正确的．

下面分析不同参数对频率的影响．对于旋转功能梯度纳米环板的横向振动，讨论C-C、C-S、内外不可移简支(S-S)和内边固支、外边自由(C-F)这四种边界条件下功能梯度纳米环板的频率特性，讨论内外径比、旋转速度、功能梯度参数、非局部参数和温度变化对无量纲固有频率的影响．考虑厚度h为1 nm，外半径r2为50 nm的环板，上表面材料为陶瓷材料(Si3N4),密度ρc=2 707 kg/m3,下表面材料为金属(SUS304)，密度ρm=3 800 kg/m3,设初始环境温度T0=300 K．在此温度下环板无初始应力和变形，弹性模量和热膨胀系数随环境温度的变化而变化，具体温度相关系数见表2．Poisson比由于变化不大，故设为0.3不变．

1) 内外径比对固有频率的影响

图2给出了功能梯度参数k分别取1和10，非局部参数为τ=0.05,旋转速度温度变化ΔT=10时，在C-C、S-S、C-S和C-F四种边界条件下，内外径比对前三阶无量纲固有频率的影响．由图2可以得到，无量纲固有频率随内外径比的增加而增加，且内外径比越大，对无量纲固有频率的影响越大．

2) 旋转速度对固有频率的影响

图3给出了在功能梯度参数k分别取5和10，非局部参数为τ=0.05,内外径比s=0.1,温度变化ΔT=10时，在C-C、S-S、C-S和C-F四种边界条件下，旋转速度对环板前三阶无量纲固有频率的影响．由图3可得，当边界条件为C-C、S-S和C-S时，一阶无量纲固有频率随旋转速度的增大而减小，当达到了一阶临界速度时，一阶无量纲固有频率减小为0，环板的一阶模态将会出现失稳现象[24]；当旋转速度较小时，其对二、三阶无量纲固有频率的影响较小；当旋转速度增大时，二、三阶无量纲固有频率随旋转速度的增大而减小；当达到二阶临界速度时，二阶无量纲固有频率为0，环板的二阶模态将会出现失稳现象[24]．当边界条件为C-F时，前三阶无量纲固有频率随旋转速度的增大而增大，且影响较大．

3) 功能梯度参数对固有频率的影响

图4给出了在内外径比s分别取0.1和0.2，非局部参数为τ=0.05,旋转速度温度变化ΔT=10时，在C-C、S-S、C-S和C-F四种边界条件下，功能梯度参数k对环板前三阶无量纲固有频率的影响．由图4可得，在这四种边界条件下，无量纲固有频率都随着功能梯度参数k的增大先迅速减小，而后缓慢减小，最后收敛为定值，说明在功能梯度参数k增大时，功能梯度纳米环板的刚度减小．

4) 非局部参数对固有频率的影响

图5给出了在功能梯度参数k分别取0和0.5，旋转速度内外径比s=0.1,温度变化ΔT=10时，在C-C、S-S、C-S和C-F四种边界条件下，非局部参数τ对环板前三阶无量纲固有频率的影响．由图5可得, 当边界条件为C-C、S-S和C-S时，功能梯度环板的无量纲固有频率随着非局部参数的增加而减小；当边界条件为C-F时，环板的一阶无量纲固有频率随着非局部参数的增加变化很小，而二、三阶无量纲固有频率随着非局部参数的增加而减小．

5) 温度变化对固有频率的影响

图6给出了在功能梯度参数k分别取5和10，旋转速度内外径比s=0.1,非局部参数τ=0.1时,在C-C、S-S、C-S和C-F四种边界条件下，温度变化ΔT对环板前三阶无量纲固有频率的影响．由图6可得，当边界条件为C-C、S-S和C-S时，这三种边界条件下无量纲固有频率都随着温度的升高而减小；当边界条件为C-F时，环板的一阶无量纲固有频率随温度的升高而增大，二、三阶无量纲固有频率随温度的升高而减小．

3 结 论

本文基于Kirchhoff板理论和非局部弹性理论，假设材料属性沿厚度方向按幂函数规律连续变化，研究了热环境中做匀速旋转运动的功能梯度纳米环板的横向振动，应用Hamilton原理导出控制方程，采用微分求积法对控制方程进行离散并求解得到四种边界条件下功能梯度纳米环板的固有频率．研究结果表明，功能梯度纳米环板的频率不仅与边界条件和板的内外径比有关，而且与功能梯度参数、非局部参数、转速和温度有关．特别地，当内边固支外边自由时,频率随这些参数的变化关系与其他边界条件的频率显示出不同的变化趋势．例如，对于内外边同时固支或简支边界时，环板前三阶无量纲固有频率随旋转速度的增大而减小，而对于内边固支外边自由边界，环板前三阶无量纲固有频率随旋转速度的增大而增大，且旋转速度越大对固有频率的影响越明显；对于内外边同时固支或简支边界时，温度的升高会降低环板一阶无量纲固有频率，而内边固支外边自由时，温度的升高反而会增加环板的一阶无量纲固有频率．这是由于在边界自由与有约束条件下，由转速和温度变化引起的面内内力完全不同造成的．

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Vibration Analysis of Rotating Functionally Gradient Nano Annular Plates in Thermal Environment

LIU Xu， YAO Linquan

(School of Rail Transportation， Soochow University，Suzhou， Jiangsu 215131, P.R.China)(Recommended by GOU Xiaofan, M. AMM Editorial Board)

Abstract: Based on the nonlocal elasticity theory and the Kirchhoff thin plate theory, the vibration frequencies of rotating FGM nano annular plates in thermal environment were studied. Firstly, the differential equations for coupled radial and transverse motions of the rotating FGM nano annular plate under temperature changes and surface forces caused by rotating motions were obtained with the Hamiltonian principle, in turn, the transverse vibration of the plate was solved. Then, with the plane stress method, the axially symmetrical midplane internal forces of the annular plate under the action of centrifugal inertia force and the temperature stress distributed along the radial direction were obtained. After this, the differential equation with variable coefficients was solved with the differential quadrature method. Finally, through numerical simulations, the effects of the inner-outer diameter ratio, the functionally gradient parameters, the rotation speed, the nonlocal parameters and the temperature on the dimensionless natural frequencies of the annular plate were analyzed.

Key words: nonlocal theory; functionally graded material; nano annular plate; differential quadrature method; natural frequency

中图分类号： O346

文献标志码：A

DOI: 10.21656/1000-0887.410090

收稿日期： 2020-03-30； 修订日期：2020-10-20

基金项目： 国家自然科学基金(11572210)

作者简介：

刘旭(1995—),男，硕士生(E-mail: xliu1@stu.suda.edu.cn)；

姚林泉(1961—)，男，教授，博士，博士生导师(通讯作者. E-mail: lqyao@suda.edu.cn).

引用格式: 刘旭， 姚林泉. 热环境中旋转功能梯度纳米环板的振动分析[J]. 应用数学和力学, 2020, 41(11): 1224-1236.

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(11572210)