引 言
当今非线性奇异扰动问题已被十分注重[1]，对奇异扰动渐近方法的研讨也已广泛深入．定性和定量地讨论非线性奇异扰动问题有很多渐近的近似方法，并且也在被不断地改进和更新．非线性奇异扰动问题，在自然学科的研究中，例如在量子物理、大气物理、生态环境、流行性病传播、孤立子等方面都有很多的应用．对非线性方程奇异扰动模型求渐近解也引起了科学研究者们的关注，成为了当今热门的研究课题．如Papageorgiou和Winkert[2]、Daraghmeh [3]、Golovaty [4]、Koshkin和Jovanovic [5]、Salathiel等[6]以及Amtontsev和Kuznetsov[7]都已做了富有成果的工作．
在自然界中，有很多对局部区域物理量的研究有时还要依赖于在整体区域中的数据，对这类问题的讨论就属于非局部问题模型的研究．利用非线性微分不等式等方法[8-9]，笔者也做了某些奇异扰动的问题研究[10-21]．本文提出了一类非线性非局部积分-微分系统的稳态奇异扰动边值问题，利用改进的奇异扰动理论和微分不等式、多重尺度变量等方法得到了相应模型一致有效的渐近解．
今考虑如下2n阶非线性非局部积分-微分奇异扰动系统稳态Robin问题:
(1)
(2)
其中μ为正的小参数，
x=(x1,x2,…,xM),w=(w1,w2,…,wN),Tw=(T1w1,T2w2,…,TNwN)，
而Ω为RM中的有界区域，∂Ω为Ω的光滑边界，
为∂Ω上的外法向导数，bi(x)>0．积分算子Ti的核Ki是Hölder连续函数．
定义1 设在
中,
且
成立，则分别称函数
和
为2n阶非线性非局部积分-微分奇异扰动系统稳态Robin问题 (1)、(2)的上解和下解．
我们做如下假设:
(H1) Li是在上的一致椭圆型算子，Li和Bi的系数:
以及 fi(i=1,2,…,N)是关于它们的变量为充分光滑的函数，且
(H2) 对于每个i=1,2,…,N，有一组上、下解
存在正常数ci使得
1 建立微分不等式
设
是在
上的一个函数，{wm}是一个序列，其中
为如下线性Robin边值问题的解:
(3)
(4)
现有如下定理．
定理1 在假设(H1)、(H2)下，设
由问题(3)、(4)给出的序列
和
它们有如下性质:
(5)
证明 设
于是有
由积分-微分系统的极值原理[1-2]，在
中，
即
同样可得
再设
则有
故有
这时便有
再由归纳法，可得式(5)成立，定理1证毕．
由定理1不难得知， 如下非局部积分-微分奇异扰动系统Robin问题(1)、 (2)解的存在性定理．
定理2 在假设(H1)、(H2)下，设
为问题(1)、(2)的一对上下解，则2n阶非线性非局部积分-微分奇异扰动系统稳态Robin问题(1)、(2)存在一组解
2 构造外部解
设2n阶非线性非局部奇异扰动稳态系统Robin问题(1)、(2)的外部解Z=(Z1,Z2,…,ZN)为
(6)
将式(6)代入奇异扰动稳态系统(1)，按μ的幂展开，依次可得
Tizi0=fi(x,0), i=1,2,…,N, x∈Ω,
(7)
Tizis=Fis, i=1,2,…,N, s=1,2,…,
(8)
其中
i=1,2,…,N, s=1,2,…．
它们是逐次已知的函数．
由式(7)可得
(9)
积分系统(9)可以得到一组解zi0(x)，i=1,2,…,N．
由式(8)可得
(10)
同样地，由Fredholm积分系统(10)可以依次得到解zis(x), i=1,2,…,N, s=1,2,…．
将得到的zis(x),i=1,2,…,N, s=0,1,2,…代入式(6)，便得到2n阶非线性非局部奇异扰动稳态系统的外部解Z=(Z1,Z2,…,ZN)．但是微分-积分稳态系统的外部解Z未必满足Robin边界条件(2)．故尚需求出边界层校正项V．
3 构造边界层校正
在∂Ω的邻域内建立局部的坐标系(ρ,θ)．设它在∂Ω的邻域内的每一点Q的坐标ρ(≤d)为点Q到∂Ω的距离，其中d为足够小的正常数，使得在∂Ω上的每点的内法线在邻域0≤ρ≤d内互不相交．而θ=(θ1,θ2,…,θM-1)是点Q在∂Ω上的内法线交点的一个M-1维非奇异的局部坐标系．这时在边界∂Ω的邻域0≤ρ≤d内有
这里
αjM,αjk,βM,βj的表示式在此从略．
在0≤ρ≤d内，作多重尺度变量[1-2]:
(11)
这里p(ρ,θ)待定， 它将在下面选定．为了书写方便， 以下仍用ρ代替
代替
再由式(11)可得
(12)
这里Q0,Q1,Q2分别为
选取
即
这时
设2n阶非线性非局部奇异扰动稳态系统模型(1)、(2)的解(w1,w2,…,wN)为
wi=Zi+Vi, i=1,2,…,N,
(13)
这里
(14)
将式(6)、(14)代入式(1)、(2)，按μ幂级数展开，再令μs(s=0,1,…)的系数为零，得到
(15)
(16)
(17)
(18)
其中Gis为逐次已知的函数，其表示式从略．
由Volterra积分-微分系统(15)、(16)以及式(17)、(18)和假设(H1)、(H2)，能够依次得到具有衰减性态的解vis(ρ,θ),并有性质:
(19)
其中kis为适当小的正常数．
再引入一个充分光滑的分隔函数η(ρ)，使得
取
为了书写方便，在下面我们仍用vis来代替
将vis(ρ,θ)代入式(14)，便得到具有边界层校正性质的函数V=(V1,V2,…,Vm)．
由式(13)、(6)和(14)，便有2n阶非线性非局部奇异扰动稳态系统模型(1)、(2)的形式渐近解(w1,w2,…,wN)，并且
(20)
这里m为任意大的正整数．
4 渐近解的一致有效性
下面来证明由式(20)表示的奇异扰动稳态系统模型(1)、(2)的形式渐近解(w1,w2,…,wN)的一致有效性．
定理3 在假设(H1)、(H2)下，2n阶非线性非局部奇异扰动稳态系统Robin问题(1)、(2)存在一组解(w1,w2,…,wN)，并具有一致有效的渐近式(20)．
证明 首先构造如下辅助函数:
Ri=Yi-hiλ, Si=Yi+hiλ, i=1,2,…,N，
(21)
其中hi,i=1,2,…,N为待定的正常数，而
显然有
(22)
由假设存在正常数Di1(i=1,2,…,N)，在x∈∂Ω上
gji(x)+(Di1-ri)λ, j=1,2,…,n, i=1,2,…,N, x∈∂Ω
成立．选取ri≥Di1，便有
(23)
同理可得
(24)
现证
(25)
(26)
现分如下三种情形:
Ω\(ρ≤(2/3)d)； 
(1/3)d≤ρ≤(2/3)d； 
0≤ρ≤(1/3)d．
现只证明情形，其余的情形类似．
当0≤ρ≤(1/3)d时，由中值定理及关系式(6)、(14)和(20)对于r足够小，存在正常数Di2(i=1,2,…,N)，使得
(Di2-qi)λ．
最后，选取hi(i=1,2,…,N)，使得hi≥Di2，这时我们便证明了不等式(25)．同理，不等式(26)也成立．
由式(22)～(26)知，式(21)中的(R1,R2,…,RN)和(S1,S2,…,SN)分别是2n阶非线性非局部奇异扰动稳态系统Robin问题(1)、(2)的下解和上解，由定理1和定理2知，Robin问题(1)、(2)存在一个解
并成立
于是由式(21)，关系式(20)在上一致有效地成立．定理3证毕．
5 结 论
近来对非线性奇异扰动问题的研究优化了许多渐近方法．本文讨论了一类非线性非局部奇异扰动稳态系统Robin问题，利用微分不等式等理论，得到了系统解的渐近解析表示式，且证明了它的一致有效性．本文所述的方法简捷,还能通过渐近解继续进行解析运算，进一步得到其他相关物理量及其性态，而一般运用单纯的数值模拟方法未必能达到．故本文通过对一类奇异扰动稳态系统的物理问题的研讨，具有较广泛的研究应用前景．
致谢 本文作者衷心感谢亳州学院质量工程项目(2017jpkc04;2017ybjy22;2018jxtd01)对本文的资助．
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