斜拉桥是一种通过拉索承重的高次超静定结构,其中拉索的索力是斜拉桥施工阶段安全、成桥状态内力和线形合理的重要控制因素[1-2].文献[3]对斜拉桥的优化问题进行了文献统计分析,发现42.2%的文献涉及索力的优化分析.有关索力的计算方法按照目的和阶段可以分为3类:
1) 为使斜拉桥成桥状态的内力和线形合理,确定合理的成桥状态索力.斜拉桥合理成桥状态的各个条件中,“塔直梁平”是基本准则[4].主要方法有[5-6]:零位移法[7]、刚性支撑连续梁法[8]、最大弯矩(或弯曲能量)最小法[9-11]、内力平衡法[12]、影响矩阵法[13-16]等,其中文献[16]在考虑了几何非线性效应的情况下利用结构的切线刚度矩阵建立影响系数.Martins等[17-19]提出了一种基于熵的考虑施工阶段、混凝土时间相关效应和斜拉桥几何非线性因素的索力确定方法.文献[20]以主梁的预应力筋数量、斜拉索的索力、面积为设计变量,利用应力和位移建立约束方程,以预应力混凝土斜拉桥成本为优化目标构造了一个优化算法,在考虑多项因素的情况下获取斜拉索的成桥索力.文献[21]以配重和索力为设计变量,以最小弯曲变形能为优化目标,利用变步长搜索法进行优化获取合理的成桥索力.文献[22]利用模拟退火算法和B样条插值,实现了曲线斜拉桥的成桥索力优化.
2) 基于成桥索力,为保证施工和桥梁安全,确定各施工阶段的索力.具体的计算方法包括:倒拆法[23]、正装迭代法[24]、倒拆-正装迭代法[25]和无应力状态控制法[26]等.简单的倒拆法难以考虑混凝土收缩徐变和几何非线性效应,正装迭代法、倒拆-正装迭代法和无应力状态控制法利用迭代技术可以考虑混凝土收缩徐变和几何非线性效应.康春霞等[27]基于一座人行斜拉桥,考虑混凝土收缩徐变,对比分析了无应力状态控制法、倒拆-正装迭代法及正装迭代法,认为“无应力状态控制法收敛速度最快,计算精度最高;倒拆-正装迭代法次之;正装迭代法收敛速度最慢”,并推荐在确定斜拉桥合理施工状态时优先采用无应力状态控制法.
3) 对于特定的成桥或施工阶段,基于当前索力和目标索力的差值,确定各拉索的索长调整量.这类问题常用影响矩阵法进行全桥调索分析.杨兴等[28]以施调索力为设计变量建立影响矩阵;韩伟[29]基于无应力状态法,通过建立索力增量与拉索无应力长度变化、拉索抗拉刚度和主梁刚度的关系来进行全桥调索,并和影响矩阵法进行了对比;刘雄等[30]利用ANSYS软件的优化设计功能,针对基准状态和目标状态识别拉索的无应力长度,通过计算无应力长度的差值得到调索量.
本文内容属于上述第3)类问题的研究,根据当前索力和目标索力,确定各拉索的调索长度.实际施工中,由于调整全部拉索无应力长度的工程量相当大,因此提出部分调索的需求:只调整部分(尽量少)拉索的无应力长度,使得全部拉索的索力误差小于指定的误差容限.本文基于含非弹性收缩量(无应力长度的减少量)的杆单元,开展斜拉桥全桥调索和部分调索的分析方法研究.
文献[31]提出了一种含非弹性收缩量的预应力筋杆单元,在考虑预应力筋刚度的同时,可准确模拟预应力筋单元的有效预应力,实现了在分析结果中杆单元的轴力(应力)等于指定值.本文将其用于模拟斜拉桥的拉索.
以平面坐标系下为例,将斜拉桥的拉索用含非弹性收缩量的预应力筋单元模拟时,其自由度见图1,相应的荷载见图2.拉索单元的平衡方程为[31]
图1 拉索单元的自由度 图2 拉索单元自由度对应的荷载
Fig. 1 Degrees of freedom of the cable element Fig. 2 Loads corresponding to the degrees of freedom of the cable element
(1)
式中,E,A,l分别是拉索单元的弹性模量、横截面面积、长度;c,s分别表示拉索单元方位角的余弦和正弦:c=cos α,s=sin α;ui,vi,uj,vj分别为节点i,j在直角坐标系下沿x,y方向的位移分量,Xi,Yi,Xj,Yj为与各位移分量对应的荷载分量;ΔL为拉索的非弹性收缩量,T为拉索的拉力.
对于斜拉桥,对拉索引入非弹性收缩量后,斜拉桥结构的整体有限元平衡方程可表示为如下分块矩阵的形式:
(2)
式中,d1为除约束、拉索非弹性收缩量以外的常规节点自由度,为未知量;F1为与d1对应的等效节点荷载,在方程中为已知量,反映结构的力边界条件;Δl为各拉索的非弹性收缩量,也即无应力长度的可改变量;T为各拉索的索力;为受到约束的自由度,在方程中为已知量,反映了结构的位移边界条件;R3为约束自由度上的约束反力,在方程中为未知量.
式(2)表明: 各拉索的索力T受到荷载F1、 约束位移和各拉索非弹性收缩量Δl的影响.在荷载F1和约束位移确定的情况下,可通过改变各拉索的非弹性收缩量Δl来调整各拉索的索力T,使斜拉桥处于合理的内力状态.
由式(2)可得
(3)
(4)
由式(3)可得
(5)
将式(5)代入式(4),整理可得
(6)
令
(7)
(8)
则式(6)可表示为
(9)
式(9)揭示了拉索的非弹性收缩量Δl对索力T的影响.在荷载F1和约束位移确定的情况下,为确定不变的向量.
记斜拉桥当前状态的非弹性收缩量为Δlc、索力为Tc,则有
(10)
记调索目标状态的非弹性收缩量为Δlt、索力为Tt,则有
(11)
由式(10)、(11)可得
(12)
记
(13)
即为各拉索非弹性收缩量从当前状态到目标状态的变化量,也即是各拉索的无应力长度改变量(以减小为正,下面简称调索长度).
记
ΔT=Tt-Tc,
(14)
即ΔT为各索力从当前状态到目标状态的增量(下面简称需调索力).
式(12)可重写为
(15)
利用式(15),根据需调索力,可求得各拉索的调索长度.
关于式(15)的说明:
1) 对于ΔT=0,可知满足式(15),也即无须进行调索.
2) 当斜拉桥去掉全部拉索后仍然为静定或超静定结构时,为可逆矩阵,根据需调索力可求得各拉索的调索长度.
3) 当斜拉桥去掉全部拉索后为机动体系时,为奇异矩阵.根据奇异矩阵解的性质,可能无解或者有无穷多组解.从力学上可解释为:在线弹性小变形范畴内,静定结构在荷载作用下的内力是确定的,结构尺寸的微小改变(装配误差)不会引起内力改变;对于斜拉桥,如果加上拉索后为静定结构,则无法通过拉索的无应力长度变化来调整拉索及结构的内力.
实际的斜拉桥调索问题一般属于上面第2)种情况,可根据需调索力,计算出全部拉索的调索长度.
实际施工中,调索的难度较大,精度也难以控制.当斜拉桥的拉索数量多时,对全部拉索进行长度调整的工程量相当大.从实际施工的角度考虑,希望尽量少调一些拉索,只要最终的索力状态与目标索力的误差在容许的范围内即可.
利用式(15),上述工程问题可转化为下面混合整数优化模型.
优化问题的变量为:
1) Δli(i=1,2,…,n),其中n为总的拉索根数.Δli表示中的各元素,即各拉索的调索长度,为连续实数变量.
2) zi(i=1,2,…,n).通过zi来表示是否要对第i根拉索的长度进行调整:zi=1表示该拉索的长度需要调整,此时Δli待求;zi=0表示该拉索的长度不调整,此时Δli=0.
约束条件为:
1) zi=0时,Δli=0.
表示只对m根拉索的索长进行调整.
优化模型可根据实际需要选择不同的误差评估函数作为目标函数.
本文目标函数的选择方法为:
① 计算调索方案对应索力变化量与需调索力的差向量:
r反映了调索的效果.
② 取各拉索索力差的相对误差绝对值的最大值作为目标函数:
式中,ri表示第i根拉索的索力与目标索力的差值,Tti为第i根拉索的目标索力.
利用前述方法,采用C++语言编制了一个分析软件XLQ,基本功能有:建立有限元模型、根据拉索单元自动生成影响矩阵、内置GUROBI9.01软件接口实现优化问题的求解.
参考杨兴等[28]的结构数据,建立简化斜拉桥模型,布置情况如图3所示.
图3 斜拉桥总体布置图
Fig. 3 The general layout of a cable-stayed bridge
斜拉桥采用独塔双跨不对称布置,主跨145 m,边跨130 m,桥面宽19 m.斜拉索采用扇形索面,主跨15#~28#拉索索距8.5 m,边跨10#~14#拉索索距4.25 m,1#~9#拉索索距8.5 m;拉索用含非弹性收缩量的杆单元模拟,弹性模量为1.95×1011 Pa,换算面积为0.017 08 m2.主梁采用C50混凝土,弹性模量为3.45×1010 Pa,采用换算实腹式长方形截面,梁高1.9 m,宽19 m,截面惯性矩为10.86 m4.用梁单元模拟.全桥换算均布荷载为307 kN/m2,作用在主梁上.
表1为调索根数m=20的优化结果.表2为调索根数变化进行优化得到的调索方案及误差情况.
表1 调索根数m=20的优化结果
Table 1 Optimized results for m=20
cable №.adjustinglength ΔL/mrelativeerrorδ/%cable №.adjustinglength ΔL/mrelativeerrorδ/%cable №.adjustinglength ΔL/mrelativeerrorδ/%cable №.adjustinglength ΔL/mrelativeerrorδ/%10.011-10.580.000-7.5150.12910.5220.194-10.520.017-10.590.000-10.5160.17110.5230.182-10.530.027-10.5100.000-6.6170.20810.5240.161-10.540.015-10.5110.000-4.9180.21410.5250.132-10.550.021-10.5120.0006190.24010.5260.1454.960.023-10.513-0.089-10.5200.218-10.5270.12410.570.000-10.5140.0004.9210.209-10.5280.000-10.5
从表2可以看出:
表2 基于非弹性收缩量的索力调整优化结果
Table 2 Results of cable force adjustment based on inelastic contraction
number of adjusting cablesselected cables to be adjusted for the optimal schemerelative error δ/%024.333 61323.112 924 1522.072 534 7 1821.170 541 2 3 1820.134 951 2 3 15 1819.31861 2 3 15 18 1918.669 371 2 3 13 15 18 1918.160 381 2 3 7 15 16 17 2017.322 691 2 3 7 13 15 16 17 2016.376101 2 3 5 6 15 16 17 18 2015.775111 2 3 8 12 13 15 16 17 18 2015.399 7121 2 3 5 6 7 15 16 17 19 20 2114.973131 2 3 4 5 6 9 15 16 17 19 20 2114.195 5141 2 3 4 5 6 9 15 16 17 19 20 21 2613.655 2151 2 3 4 5 6 9 12 15 16 17 19 20 21 2713.494 7161 2 3 4 5 6 9 13 15 16 17 19 20 21 26 2713.089 8171 2 3 4 5 6 9 13 15 16 17 19 20 21 25 26 2712.911 5181 2 3 4 5 6 9 13 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2412.012 7191 2 3 4 5 6 9 13 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2511.396201 2 3 4 5 6 13 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2710.517 5211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 23 24 25 26 27 289.500 05221 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 22 23 24 25 26 27 287.229 77231 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 21 22 23 24 25 26 27 285.055 38241 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 21 22 23 24 25 26 27 281.815 16251 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 281.496 93261 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27 281.431 53271 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 26 27 280.115 83281 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 280
1) 随着拉索调整根数的增加,索力误差逐渐减小,全桥调索可精确实现目标索力.
2) 当调索根数增加1时,拉索选择不满足简单递增关系:在m-1根拉索的选索方案基础上增加1根拉索,获得m根拉索的选索方案.在限定调索根数的情况下,需要对选索方案、调索长度进行独立优化(简称独立选索)才能获得最优的调索效果.
图4将独立选索与两种递增调索方案(scheme 1、scheme 2)的调索效果进行了比较,scheme 1为根据索力的初始相对误差绝对值从大到小排序,逐次递增调索根数;scheme 2为在递增调索过程中,在未调索的拉索中选择当前差值最大的拉索作为递增调整的拉索.
图4 不同选索方案的优化效果
Fig. 4 Optimization effect of different schemes
从图4中可以发现:
1) 限定调索根数,独立选索的调索误差最小.
2) 在调索根数较少时,递增方式的调索效果与独立选索比较接近.当调索根数多时,两种递增方式的调索效果与独立选索相差较大.
3) 一旦调整全部拉索,均可精确达到目标索力.
将非弹性收缩量引入拉索单元的自由度向量中,组装得到结构整体平衡方程后,斜拉桥各拉索的索力和非弹性收缩量分别表现为结构整体平衡方程的荷载项和自由度,利用矩阵变换而不是多次计算,直接建立了索力差值关于非弹性收缩量改变量的影响矩阵,具有计算量小、无需计算初始无应力长度的特点.
利用以非弹性收缩量改变量为变量的影响矩阵,在全桥调索情况下,理论上可精确达到目标索力.针对工程实际中调整部分拉索长度逼近目标索力的实用需求,引入0、1变量表示各拉索长度不调、可调,与调索长度一起组成优化设计变量,建立了一个混合整数优化模型,结合高性能数学优化软件GUROBI进行求解,可快速获得不同调索根数时的最优调索方案.
对于大跨度斜拉桥,其几何非线性效应明显,式(2)可选用增量形式,利用考虑几何非线性效应后的切线刚度矩阵,采用分阶段调整的方式使用前述方法.
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