侧向加热腔体中的多圈型对流斑图*

宁利中1, 张 珂1, 宁碧波2, 吴 昊1, 田伟利3

(1. 西安理工大学 水利水电学院, 西安 710048;2. 嘉兴学院 建筑工程学院, 浙江 嘉兴 314001;3. 上海大学 建筑系, 上海 200444)

摘要: 基于流体力学方程组的数值模拟,研究了倾角θ=90°时侧向加热的大高宽比腔体中的对流斑图.对于Prandtl数Pr=6.99的流体,在相对Rayleigh数2≤Rar≤25的范围内,腔体中发生的是单圈型对流斑图.对于Pr=0.027 2的流体,取Rar=13.9,随着计算时间的发展,腔体中由最初的单圈型对流斑图过渡到多圈型对流斑图,这是出现在侧向加热大高宽比腔体中的新型对流斑图.对不同Rar情况的计算结果表明,Rar对对流斑图的形成存在明显的影响.当Rar≤4.4时是单圈型对流滚动;当Rar=8.9~11.1时是过渡状态;当Rar≥13.9时是多圈型对流滚动.对流最大振幅和Nusselt数Nu随着相对Rayleigh数的增加而增加.该对流斑图与Pr=6.99时对流斑图的比较说明,对流斑图的形成依赖于Prandtl数.

关 键 词: 单圈型; 多圈型; 对流斑图; 侧向加热腔体

引 言

对加热引起的自然对流的研究源于一百多年前Bénard对于底部加热流体的实验.此后,实验研究和理论分析相继展开,获得了一系列的成果[1-2].近几十年来,关于底部加热流体的Rayleigh-Bénard对流,引出了大量的研究活动:文献[3-7]运用不同的数值模拟方法研究了对流运动、行波对流及其结构、局部行波等.文献[8-12]利用有限容积法离散了流体力学控制方程组,数值研究了对流行波的缺陷、对流解及其影响因素、对流的分区与斑图等.如果底部加热的腔体倾斜放置,腔体中的对流将出现许多新的特点[13-18].腔体中的对流斑图随着倾斜角度θ的变化而变化:当θ=0°时,系统变为底部加热腔体的对流问题,即Rayleigh-Bénard对流问题;当θ=90°时,系统变成侧向加热腔体的对流问题.关于侧向加热腔体的对流问题已经有了一些研究成果:文献[19-21]研究了小高宽比侧向加热腔体中的对流问题;文献[22]较早开展了大高宽比侧向加热腔体中的对流问题研究;文献[23-24]研究了加热方式对大高宽比侧向加热腔体中的对流的影响;文献[25-26]讨论了扰动的发展,并揭示了一种新型对流结构.由于对侧向加热腔体中的对流问题的研究主要集中在小高宽比的情况下,因此,到目前为止,对大高宽比侧向加热腔体中对流问题的研究仍然是初步的,有必要对大高宽比侧向加热腔体中的对流问题进行进一步的研究.

本文建立了具有倾斜角度θ的底部加热腔体的一般模型.对于侧向加热腔体的对流问题,在计算中考虑模型中的倾斜角度为θ=90°.基于流体力学方程组的数值模拟,研究了倾角θ=90°时侧向加热的大高宽比腔体中的对流斑图.研究发现,对于Prandtl数Pr=6.99的流体,在相对Rayleigh数2≤Rar≤25的范围内,腔体中仅出现单圈型对流斑图.对于Pr=0.027 2的流体,Rar对对流斑图的形成存在明显的影响.当Rar≤4.4时是单圈型对流滚动;当Rar=8.9~11.1时是过渡状态;当Rar≥13.9时是多圈型对流滚动.多圈型对流滚动是出现在侧向加热的大高宽比腔体中的新型对流斑图.与Pr=6.99时对流斑图的比较说明,对流斑图的形成依赖于Prandtl数.

1 数学物理模型

倾角为θ,坐标系为xOy的底部加热矩形二维腔体如图1所示.当θ=0°时为底部加热腔体的对流问题,即Rayleigh-Bénard对流问题;当θ=90°时为侧向加热腔体的对流问题.当Rayleigh数超过某个临界值时,腔体内发生对流.采用Boussinesq近似,这时描述流体对流的流体力学基本方程组可表示为

(1)

(2)

(3)

(4)

式中,peff=p+ρ0gycos θ+ρ0gxsin θp是压强;u表示沿x方向的速度;w表示沿y方向的速度;t为时间;g为重力加速度;ρ为密度;α为热引起的体积膨胀系数,α=-(1/ρ0)(∂ρ(T,p)/∂T);T表示温度;ν是运动黏性系数;κ为热扩散系数,κ=λ/(ρ0cp),λ为热传导系数,cp为定压比热容;下标0表示相应物理量的参考值.

图1 腔体中的对流
Fig. 1 Convection in a cavity

计算中采用的边界条件如下:

x=0, Lx时,u=w=0,∂T/∂x=0;

y=0时,u=w=0,T=T0+0.5ΔT

y=d时,u=w=0,T=T0-0.5ΔT

式中,d是腔体高度,Lx为计算腔体的长度.

初始流速为u=w=0,初始温度为平均温度T0

在数值模拟中,根据有限容积法对控制方程组进行了离散,Simple算法用于求解速度-压力耦合方程.采用均匀交错网格系统.对流项采用二阶精度的乘方差分格式,扩散项采用中心差分格式.文献[25]对d/20与d/30两种不同网格的比较发现,控制物理量基本相同.因此,本文采用d/20的网格,时间步长采用Δt=0.02 s.

本文讨论中采用无因次参数.对流可用Rayleigh数Ra=ΔTd3/(κν),为了方便,使用相对Rayleigh数Rar=Ra/Rac表示,其中,Rac=1 708;Prandtl数Pr=ν/κ及倾角θ来控制.无因次坐标为X=x/dY=y/d,长高比为Γ=Lx/d.计算中采用T0=293.15 K,Pr=6.99, 0.027 2的流体.当θ=90°时,腔体高宽比Γ=20.

2 侧向加热腔体中的多圈型对流滚动

2.1 Prandtl数Pr=6.99时的对流斑图

对于Pr=6.99的流体,腔体倾斜角θ=90°的腔体,实际上变成了侧向加热.当Rar给定时,经过长时间的模拟计算,反映对流场特性的最大振幅和反映热通量特性的Nu达到稳定.这时获得的对流斑图为相应Rar的稳定斑图.根据这个原则,对不同Rar情况进行了模拟.当Rar=2,6,15,25时,腔体内流线构成的对流斑图如图2所示.可以看出,随着Rar的增加,腔体内的流线圈向二分之一腔体高度处集中.但在计算的Rar变化范围内,腔体内的流线保持为单圈型.这和小高宽比腔体中观察到的现象类似.

2.2 Prandtl数Pr=0.027 2时的对流斑图

2.2.1 多圈型对流滚动的形成

对于Pr=0.027 2的流体,腔体倾斜角θ=90°的腔体,取Rar=4.4进行模拟计算.图3给出了不同时刻流线构成的对流斑图的演化.图4给出了Nu随着时间的变化.由图4可以看出,当t<15 s时,Nu随着时间急剧减小;然后,在15 s<t<40 s之间,Nu随着时间缓慢减小;在40 s<t<120 s之间,Nu随着时间又迅速增加;t>120 s后,Nu随着时间不再变化,基本稳定在一个常数值,说明对流场达到稳定状态.图3说明在随着时间的变化过程中,腔体内始终保持单圈型.因此,对流稳定下来的对流斑图(图3(t=200 s))是单圈型.

对于Pr=0.027 2的流体,腔体倾斜角θ=90°的腔体,取Rar=13.9进行模拟计算.图5给出了不同时刻流线构成的对流斑图的演化.图6给出了Nu随着时间的变化.由图6可以看出,当t<40 s时,Nu随着时间迅速减小后急剧增加;当40 s<t<120 s时,系统进入调整区,Nu随着时间缓慢变化;当t>120 s后,Nu随着时间基本不变化,说明t>120 s后对流稳定下来.如图5所示,在t≤50 s时,腔体中是封闭的单圈型对流滚动;当60 s≤t≤100 s时,腔体中是封闭的单圈型对流滚动,但在对流滚动的上下两端部内各存在一个小的滚动;当t=150 s时,腔体中出现稳定的多圈型对流滚动;随着时间的发展,当t=200 s时,腔体中是基本与t=150 s时相似的多圈型对流滚动.与图6比较,当t>120 s后,系统就稳定下来,因此,图5中t≥150 s后的对流斑图即为对应参数下的稳定对流斑图.也就是说,对于Pr=0.027 2的流体,腔体倾斜角θ=90°的腔体,取Rar=13.9进行模拟计算,结果发现腔体中是多圈型对流滚动.这与小高宽比腔体中观察的单圈型对流现象不同.也与相同高宽比腔体中Pr=6.99时观察的单圈型对流现象不一样.它是发生在小Prandtl数大高宽比腔体中的新型结构.

图2 Pr=6.99时对流斑图随着Rar的变化 图3 Pr=0.027 2, Rar=4.4情况下对流斑图随着时间的变化
Fig. 2 Variation of convection patterns withRar for Pr=6.99 Fig. 3 Variation of convection patterns with time forPr=0.027 2 and Rar=4.4

图4 Pr=0.027 2, Rar=4.4情况下Nu随着时间的变化
Fig. 4 Variation of Nu with time for Pr=0.027 2 and Rar=4.4

2.2.2 对流斑图随着Rar的变化

为了探讨Rar对对流斑图形成的影响,本文对Pr=0.027 2时不同相对Rayleigh数的情况进行了数值模拟计算.不同Rar时对流稳定下来的流线如7所示.可以看出,当Rar=2.2,4.4时,腔体中的对流斑图类似,腔体中的稳定对流斑图是封闭的单圈型;当Rar=8.9时,腔体中是封闭的单圈型对流滚动,但在对流滚动的上下两端部内各存在一个小的滚动;当Rar=11.1时,腔体中是单圈型对流滚动,在对流滚动的上下两端部内各存在两个小的滚动,显示了从单圈型对流滚动到多圈型对流滚动的过渡;当Rar=13.9时,腔体中形成多圈型对流滚动,在高宽比为20的腔体中有7个对流圈,对流滚动的波数k=7π/20=1.10;当Rar增加到23.9时,腔体中仍是多圈型对流滚动,在高宽比为20的腔体中增加到9个对流圈,对流滚动的波数增加到k=9π/20=1.41.可见,随着Rar的增加,对流滚动的波数也增加.总之,对于Pr=0.027 2的情况与Pr=6.99的情况是不同的,对流斑图是随着Rar变化的.当Rar≤4.4时是单圈型对流滚动;当Rar=8.9~11.1时是过渡状态;当Rar≥13.9时是多圈型对流滚动.Rar明显地影响了对流斑图的形式.

图5 Pr=0.027 2, Rar=13.9情况下对流斑图随着时间的变化
Fig. 5 Variation of convection patterns with time for Pr=0.027 2 and Rar=13.9

图6 Pr=0.027 2, Rar=13.9情况下Nu随着时间的变化
Fig. 6 Variation of Nu with time for Pr=0.027 2 and Rar=13.9

图7 Pr=0.027 2时对流斑图随着Rar的变化
Fig. 7 Variation of convection patterns with Rar for Pr=0.027 2

图8 最大振幅A随着Rar的变化
Fig. 8 Variation of maximum amplitude A with Rar

图9 Nu随着Rar的变化
Fig. 9 Variation of Nuwith Rar

下面分析对流参数的特性.将y轴方向最大流速无量纲化处理,得到无量纲最大振幅A=wmax/(κ/d),将最大振幅ANu列于表1.最大振幅A随着Rar的变化如图8所示.Nu随着Rar的变化如图9所示.可以看出,最大振幅ANu随着Rar的增加而增加.最大振幅A随着Rar的变化关系式为

A=0.294 8e0.089 5RarR2=0.974;

Nu随着Rar的变化关系式为

Nu=0.374e0.117 1RarR2=0.941 8,

其中R2为可决系数.

表1 Pr=0.027 2时对流参数随Rar的变化

Table 1 Variation of convection parameters with Rar for Pr=0.027 2

RarANu2.20.294 290.415 123.60.399 720.585 594.40.459 280.707 167.00.599 760.567 688.90.665 401.228 4311.10.839 301.702 9413.91.111 942.307 8017.81.565 153.188 2323.92.150 055.017 33

3 结 论

本文基于流体力学方程组的数值模拟,研究了倾角θ=90°时侧向加热的大高宽比腔体中的对流斑图.可以得出以下结论:

1) 对于Pr=6.99的流体,在2≤Rar≤25的范围内,腔体中发生的是单圈型对流斑图.这和小高宽比腔体中观察的现象类似.

2) 对于Pr=0.027 2的流体,取Rar=13.9,模拟结果说明,随着计算时间的发展,腔体中由最初的单圈型对流斑图过渡到多圈型对流斑图.多圈型对流斑图是一种稳定结构,是出现在侧向加热的大高宽比腔体中的新型对流斑图.与以往的观察结果不同.

3) 计算结果表明,对于Pr=0.027 2的流体,Rar对对流斑图的形成存在明显的影响.当Rar≤4.4时腔体中形成的是单圈型对流滚动;当Rar=8.9~11.1时系统处于过渡状态;当Rar≥13.9时腔体中发生的是多圈型对流滚动.在整个相对Rayleigh数变化范围内,对流最大振幅和Nu随着Rar的增加而增加.

4) 比较Pr=6.99,Pr=0.027 2时的对流斑图,说明不同对流斑图的出现取决于Pr的大小.

致谢 本文作者衷心感谢西北旱区生态水利国家重点实验室基金(2017ZZKT-2)对本文的资助.

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Multi-Roll Type Convection Patterns in Cavities Heated Laterally

NING Lizhong1, ZHANG Ke1, NING Bibo2, WU Hao1, TIAN Weili3

(1. Faculty of Water Resources and Hydroelectric Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, P.R.China; 2. College of Civil Engineering and Architecture, Jiaxing University, Jiaxing, Zhejiang 314001, P.R.China; 3. Department of Architecture, Shanghai University, Shanghai 200444, P.R.China)

Abstract: The numerical simulation was carried out based on the hydrodynamic equations, and the convection patterns in cavities with large aspect ratios heated laterally at inclined angle θ=90° were studied. For the fluid with Prandtl number Pr=6.99 in the range of reduced Rayleigh number 2≤Rar≤ 25, a single-roll type convection pattern occurs in the cavity. For the fluid with Pr=0.027 2 and Rar=13.9, with the development of calculation time, the convection pattern in the cavity transforms from the original single-roll type to the multi-roll type, which is a new type of convection pattern pertinent to large-aspect-ratio cavities heated laterally. The calculation results for different Rar values show that, Rar has a significant effect on the formation of convection patterns. A single-roll type convection pattern occurs for Rar≤4.4; for Rar=8.9~11.1, the system is in a transitional state; and a multi-roll type convection pattern appears for Rar≥13.9. The maximum convection amplitude and Nusselt number Nu increase with Rar. The comparison with the convection pattern for Pr=6.99 shows that the formation of the convection pattern depends on Pr.

Key words: single-roll type; multi-roll type; convection pattern; cavity heated laterally

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

http://www.applmathmech.cn

*收稿日期: 2019-05-09; 修订日期:2019-05-24

基金项目: 国家自然科学基金(10872164)

作者简介: 宁利中(1961—),男,教授,博士(通讯作者. E-mail: ninglz@xaut.edu.cn).

引用格式: 宁利中, 张珂, 宁碧波, 吴昊, 田伟利. 侧向加热腔体中的多圈型对流斑图[J]. 应用数学和力学, 2020, 41(3): 250-259.

中图分类号: O357

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.400165

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(10872164)