基于等效梁模型的运载火箭动力学特性仿真预示研究*

朴思扬1, 朱春艳2, 褚福运2, 张亚辉1

(1. 大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室, 辽宁 大连 116024;2. 上海宇航系统工程研究所, 上海 201108)

(我刊编委张亚辉来稿)

摘要: 针对运载火箭动力学特性仿真预示问题,提出了一种基于等效梁模型,其是可考虑贮箱内液体推进剂影响高效、准确的仿真预示方法.应用等效厚度法建立了运载火箭的等效梁模型,并将运载火箭精细有限元模型的模态分析结果作为目标,通过有限元模型修正提升了等效梁模型的精度.以某型号运载火箭为算例,应用该文方法,建立了其等效梁模型,并基于集中质量法和耦合质量法两种液体推进剂等效方法对其进行了考虑贮箱内液体推进剂影响的动力学特性预测,比较了两种方法的分析结果.

关 键 词: 运载火箭; 等效梁模型; 液体推进剂; 模型修正; 模型简化

引 言

在运载火箭的总体设计阶段,通过数值仿真的方法对运载火箭动力学特性进行预示十分重要.准确的动力学特性预示是运载火箭稳定性分析、振动分析、载荷计算等领域的基础.运载火箭结构呈现一个方向的尺寸远大于另外两个方向的特点,且在总体设计阶段主要关注其整体弯曲、扭转和轴向拉压运动,常采用梁模型[1-3]进行模拟.贮箱结构是运载火箭结构中的重要组成部分,约占全箭长度的70%,其中推进剂质量约为运载火箭起飞质量的90%,因此贮箱及推进剂的动力学建模对运载火箭动力学特性的预示精度有重要的影响[4]

运载火箭中的主要承力结构是蒙皮加筋柱壳结构,对运载火箭结构进行模型简化主要是对蒙皮加筋柱壳结构实施等效,许多学者对此进行了深入研究[5-16].邢誉峰等[5]、潘忠文等[6-7]根据蒙皮加筋柱壳结构的几何特征,研究了其面积等效模型和惯性矩等效模型的精度,提出了蒙皮加筋柱壳结构的等效厚度模型,将蒙皮加筋柱壳结构等效为环形截面的梁模型,这种等效模型计算得到的弯曲和纵向固有频率精度较好,但扭转固有频率需要进行修正.Cheng等[8]通过改进渐进均匀化方法,将复杂结构等效为由若干微结构组成的组合结构,此方法计算精度依赖于微结构的等效精度.郑淑飞和丁桦[9]提出局部刚体化方法,将结构划分为若干运动同步区域,建立了局部运动与整体运动之间的转换关系,实现模型降阶,并引入变形修正提升降阶模型的精度.王文胜等[10]在局部刚体化方法的基础上,基于梁平截面假设,将复杂细长结构降阶为梁模型,又通过考虑梁截面的翘曲变形,进一步提升降阶模型精度.李玉韦等[11]提出了一种基于本征正交分解技术的模型降阶方法,通过静力分析获得原模型的节点位移场并组装成快照矩阵,利用本征正交分解技术提取快照矩阵的主成分作为转换矩阵实现模型降阶.Wang等[12-13]提出了一种通过利用多项式及梁单元形函数将复杂结构有限元的节点位移转化为主节点位移的模型降阶方法.王博等[14-16]基于渐进均匀化法和Rayleigh-Ritz法建立了快速屈曲分析模型,并将其应用于超大直径网格加筋筒壳屈曲分析及优化设计.上述方法以结构的几何模型或有限元模型为基础,通过截面性质等效、力学等效、坐标变换等方式获得动力学分析的等效模型,但这些等效模型与真实结构之间常常存在偏差.

贮箱内推进剂主要有固体推进剂和液体推进剂两种,其中液体推进剂具有无黏性、不可压缩、不能抵抗剪切变形等特点,对整体运载火箭的弯曲、扭转和轴向拉压运动的影响是不一样的.液体推进剂对运载火箭动力学特性的影响主要体现在质量分布方面,对其进行等效的方法一直是运载火箭动力学特性预示的重点和难点[1].潘忠文等[4,17-19]将贮箱中液体推进剂对运载火箭弯曲、扭转和轴向拉压运动特性的不同影响作分别考虑,并应用耦合质量单元在商业软件中进行实现.在此基础上,王建民等[20]使用杆单元对贮箱中液体推进剂进行建模并证明了其与使用耦合质量单元法之间的等价性,极大地简化了液体推进剂的建模工作.邓魁英和王毅[21]使用多点约束单元模拟了贮箱中的液体推进剂在横向和扭转方向上的质量特性.李道奎等[22]采用Poisson比接近0.5的固体材料模拟液体推进剂的无黏性和不可压缩性,用以研究贮箱中液体推进剂对运载火箭动力学特性的影响.在上述液体推进剂质量等效方法中,耦合质量法是较为常用的方法,另一种常用的方法是集中质量法,即不考虑液体推进剂影响的各向异性,这两种方法均适用于运载火箭等效梁模型.

本文在等效厚度模型的基础上,通过引入加权节点位移耦合关系和有限元模型修正方法,构建了运载火箭结构的等效梁模型,并使用集中质量法和耦合质量法两种方法考虑贮箱中液体推进剂的影响,对运载火箭的动力学特性进行了仿真预示,比较了两种推进剂等效方法的仿真分析结果,为运载火箭动力学特性高效、准确预示提供了一条有效的解决途径.

1 运载火箭结构的梁模型等效

运载火箭的总体结构庞大、复杂,难以直接进行梁模型等效.本文基于子结构思想,将运载火箭结构按照部段划分成若干子结构,对每个子结构进行梁模型等效,然后将各子结构的等效梁模型组装起来形成总体运载火箭结构的等效梁模型.具体的运载火箭梁模型等效过程如图1所示,可划分为准备阶段和模型修正阶段.在准备阶段,首先建立运载火箭部段结构的精细有限元模型并进行模态分析,然后基于面积等效建立其等效厚度模型,最后使用加权节点位移耦合关系构建精细有限元模型的振型与等效厚度模型节点位移之间的联系.在模型修正阶段,以运载火箭部段结构精细有限元模型的自振频率和振型为目标,对等效厚度模型进行修正.

图1 等效梁模型建立流程图
Fig. 1 The flow chart for establishing an equivalent beam model

1.1 等效厚度模型简介

等效厚度模型[5-7]是一种运载火箭纵横扭一体化动力学等效梁模型,这种模型将复杂的蒙皮加筋柱壳结构等效为环形截面梁,截面属性包括外径D和壁厚t两个参数.考虑一个蒙皮加筋柱壳结构,外径为D0,蒙皮厚度为t0,环向均匀分布有N根纵向加强筋,每根加强筋的截面积为Ai(i=1,2,…,N).取环形截面梁的外径D等于D0,壁厚t有两种确定方法,一种是基于面积等效,即环形截面梁的横截面积A与蒙皮加筋柱壳横截面积A0相等:

(1)

则对应的壁厚t

(2)

该等效模型对蒙皮加筋柱壳结构弯曲刚度的等效精度较好,但扭转刚度误差较大,因此其极惯性矩需要乘以修正系数[6]

(3)

1.2 加权节点位移耦合关系

根据蒙皮加筋柱壳的结构特点,在有限元模型中选取若干能够反映其动力学特性的特征截面.对任一特征截面,假定该截面有l个节点,初始坐标为di=(xi,yi,zi)T,位移为ui=(uix,uiy,uiz)Ti=1,2,…,l.将截面与蒙皮加筋圆柱壳中轴线的交点dc=(xc,yc,zc)T定义为表征点,对截面上的节点位移进行加权平均,将它们表征为dc的位移uc.具体实施步骤如下.

首先,计算截面上l个节点的加权中心坐标do及其位移uo

(4)

其中,wiq是各节点的加权系数,一般均取为1.0.

其次,对该特征截面进行刚性化假设,节点i的位移可根据刚体运动关系由加权中心位移uo表示:

(5)

其中

(6)

ri=di-do,

(7)

αxαyαz分别为特征截面绕xyz轴的转角.

然后,构造节点i的刚体化位移与实际位移ui间的误差函数向量ε=(εx,εy,εz)T

(8)

应用优化方法确定参数αxαyαz,使误差函数向量ε的模取最小值.

最后, 根据刚体运动关系并结合式(4)和(6), 可将特征截面的位移转换为表征点dc的位移:

uc=uo+α(dc-do).

(9)

1.3 有限元模型修正简介

有限元模型修正[23-25]是一项试验和仿真相结合,用来缩小有限元模型与实际结构之间差异的理论方法.常用的有限元模型修正方法有设计参数法[23-24]、最优矩阵法[26]、频响函数法[27]、智能算法[28]及统计学方法[29]等.本文应用设计参数法对等效厚度模型进行修正.

设计参数法的关键在于选取适当的设计参数,并进行灵敏度分析.有限元模型的第k阶特征值λk,即第k阶自振频率ωk的平方,对设计参数θj(j=1,2,…,m)的灵敏度解析表达式为[24]

(10)

其中,矩阵MK分别是有限元模型的质量矩阵和刚度矩阵,向量φk是第k阶特征向量,即第k阶振型.特征向量φk关于设计参数θj的灵敏度解析求解比较复杂,文献[24]中有详细的介绍.在实际模型修正操作中,灵敏度的求解常采用数值微分方法近似获得.

设计参数θ={θ1,θ2,…,θm}的迭代更新关系可应用罚函数法构造,用下标nn+1分别代表第n次和第n+1次迭代.修正参数zn和修正目标zobj之间的关系可表示为[24]

zobj=zn+S(θn+1-θn),

(11)

其中,矩阵S是修正参数向量zn关于设计参数向量θ的灵敏度矩阵.

为方便计算,对式(11)进行整理,可以得到设计参数显式迭代更新关系:

(12)

其中,矩阵是灵敏度逆矩阵.由于式(11)构成的线性代数方程组往往是过定义的或欠定义的,因此矩阵常常不是矩阵S的简单求逆,二者关系如下[24]

(13)

1.4 建模流程

本小节将详细介绍应用前述理论方法,建立运载火箭中蒙皮加筋柱壳结构动力学分析等效梁模型的流程.首先,基于面积等效方法建立蒙皮加筋柱壳结构初始等效梁模型.然后,建立蒙皮加筋柱壳结构精细有限元模型并进行模态分析,选取适当的自振频率和振型作为模型修正目标.之后,应用加权节点位移耦合关系,将振型等效为等效梁模型的节点位移.最后,以精细有限元模型的自振频率和等效振型为目标,对初始等效梁模型进行修正.

1) 建立初始等效梁模型

运载火箭中的蒙皮加筋柱壳结构主要由蒙皮壳体、纵向和环向加强筋三部分组成,基于面积等效方法,利用式(1)和(2)计算得到环形截面梁的厚度,将蒙皮壳体和纵向加强筋简化为位于蒙皮加筋柱壳结构中轴线上的环形截面梁模型,将环向加强筋简化为集中质量,施加到梁模型对应节点上,建立初始等效梁模型.初始等效梁模型的材料属性需要根据蒙皮加筋柱壳结构中材料的具体使用情况进行设定.若蒙皮壳体和每根纵向加强筋材料相同,则将环形截面梁模型设置为相应的材料属性即可.若蒙皮壳体和每根纵向加强筋材料不同,则需要对材料属性进行适当的转换估计.在进行材料属性设定中,关键是要保证初始等效梁模型的质量分布与蒙皮加筋柱壳结构沿纵向的质量分布尽可能接近,其他材料属性可根据具体情况大致选取.

2) 确定模型修正目标

建立运载火箭中的蒙皮加筋柱壳结构精细有限元模型,若有试验数据,则对其进行修正,使其尽可能真实地反映蒙皮加筋柱壳结构的动力特性.然后对蒙皮加筋柱壳结构精细有限元模型进行模态分析,提取若干阶模态作为模型修正的目标.本文选取了前10阶整体模态作为修正目标.由于精细有限元模型与等效梁模型的单元节点不是对应的,振型不能直接应用,需要通过加权节点位移耦合关系进行转换.选取一环向加强筋所在平面上的单元节点,并在此平面与蒙皮加筋柱壳结构中轴线的交点位置建立一个节点,即这一环向加强筋所对应的等效梁模型单元节点.根据式(4)~(9),将环向加强筋所在平面上的单元节点位移用对应的等效梁模型单元节点位移表征.对每一组环向加强筋所在平面上的单元节点位移进行表征,最终可将精细有限元模型的振型转换为等效梁模型的单元节点位移,获得等效振型,与自振频率一起作为模型修正的目标.

3) 通过模型修正获得等效梁模型

在建立初始等效梁模型时,已经尽可能保证了其质量分布与蒙皮加筋柱壳结构沿纵向的质量分布接近,因而在模型修正过程中,不对梁单元的材料密度ρ和截面积A进行修正.本文选取了梁单元的截面极惯性矩Jp、两个方向的主惯性矩I1I2以及材料的弹性模量E为设计参数修正弯曲和扭转模态,并在相邻节点间引入弹簧单元,通过调整弹簧刚度k修正轴向拉压模态.本文共计选取了5个设计参数参与模型修正,并根据式(12)构建了设计参数迭代更新关系,实现参数取值的更新.需要特别注意的是,在修正过程中,由于精细有限元模型与等效梁模型之间的差别很大,可能会出现设计参数取值违背实际的情况,需要对设计参数的变化范围设置限制.

2 液体推进剂质量等效

在进行质量等效之前,需要将液体推进剂沿轴向划分成H份,每一份推进剂与运载火箭等效梁模型的相应单元节点对应,通过计算得到每一份推进剂的质量其中,第H份位于贮箱底部.

2.1 集中质量法

集中质量法适用于运载火箭的弯曲和扭转动力学特性分析.在研究运载火箭的弯曲和扭转动力学特性时,液体推进剂对运载火箭的影响主要体现在横向质量上,即只考虑质量效应不考虑转动惯量效应[17-18].第s份液体推进剂的集中质量法等效单元质量矩阵[18]

(14)

2.2 耦合质量法

耦合质量法适用于运载火箭的弯曲、扭转和轴向拉压动力学特性分析.在运载火箭飞行过程中,受到惯性的影响,液体推进剂通常位于贮箱底部,其纵向质量主要影响贮箱底部[18],贮箱侧壁不会受到液体推进剂纵向质量的影响.第s份液体推进剂的耦合质量法等效单元质量矩阵[18]

(15)

其中

(16)

3 算 例 分 析

某型号运载火箭如图2所示,应用前述方法建立了其用于动力学分析的等效梁模型,如图3所示.运载火箭全箭精细有限元模型和等效梁模型的模态分析结果如表1所示,由于涉密原因,表中频率数据均经过处理.等效梁模型的振型如图4~9所示.

图2 某型号运载火箭示意图
Fig. 2 The sketch map of a launch vehicle

图3 运载火箭全箭的等效梁模型
Fig. 3 The equivalent beam model for the launch vehicle

表1 运载火箭全箭固有频率分析结果

Table 1 The natural frequencies of the whole launch vehicle

order kfine model natural frequency ωk/Hzequivalent beam modelnatural frequency ω'k/Hzerror δ/%11.000 00.973 52.6521.001 40.973 52.7832.933 52.993 12.0342.944 52.993 11.6554.413 24.305 62.4464.544 14.441 92.2574.574 64.441 92.90125.083 85.071 30.25195.903 95.970 01.12205.914 75.970 00.93

图4 等效梁模型0.973 5 Hz振型
Fig. 4 The mode shape of the equivalent beam model at 0.973 5 Hz

图5 等效梁模型2.993 1 Hz振型
Fig. 5 The mode shape of the equivalent beam model at 2.993 1 Hz

图6 等效梁模型4.305 6 Hz振型
Fig. 6 The mode shape of the equivalent beam model at 4.305 6 Hz

为了解释图中的颜色,读者可以参考本文的电子网页版本,后同.

各贮箱液体推进剂加注情况如表2所示,由于涉密原因,表2中给出的加注量非真实情况.分别使用集中质量法和耦合质量法考虑液体推进剂的影响,模态分析结果如表3所示.此外,应用虚拟质量法,对运载火箭精细有限元模型进行了考虑液体推进剂影响的模态分析计算,部分分析结果如表4所示.

图7 等效梁模型4.441 9 Hz振型
Fig. 7 The mode shape of the equivalent beam model at 4.441 9 Hz

图8 等效梁模型5.071 3 Hz振型
Fig. 8 The mode shape of the equivalent beam model at 5.071 3 Hz

图9 等效梁模型5.970 0 Hz振型
Fig. 9 The mode shape of the equivalent beam model at 5.970 0 Hz

表2 液体推进剂加注情况(单位: kg)

Table 2 The filling of liquid propellants (unit: kg)

locationpropellant typeYRstage 1230 00090 000stage 2170 00070 000stage 350 00010 000booster230 00090 000

表3 考虑液体推进剂影响的运载火箭全箭固有频率分析结果

Table 3 The natural frequencies of the whole launch vehicle under the influence of liquid propellants

order klumped mass ωk/Hzcoupled mass ω'k/Hzerror δ/%10.542 10.541 90.0420.542 10.541 90.0430.991 50.991 50.0041.047 71.047 70.0051.047 71.047 70.0061.064 71.065 20.0571.096 71.096 90.02121.616 61.599 81.04192.715 92.715 70.01202.715 92.715 70.01

表4 全箭精细有限元模型与等效梁模型固有频率分析结果

Table 4 The natural frequencies results from the fine model and the equivalent beam model for the whole launch vehicle

№.fine model ωD/Hzequivalent beam modelfine mass ωL/Hzerror δ/%coupled mass ωC/Hzerror δ/%10.5530.542 11.970.541 92.0121.0230.991 53.080.991 53.0831.0791.047 72.901.047 72.9042.8802.715 95.702.715 75.70

某型号运载火箭算例分析结果表明:应用本文方法所建立的运载火箭等效梁模型与精细有限元模型吻合较好,前20阶自振频率误差小于3%.使用集中质量法和耦合质量法对贮箱内液体推进剂进行质量等效,两种等效方法所获得的模型前20阶自振频率分析结果偏差不明显,最大偏差为1.04%.但值得注意的是,分别使用等效梁模型与精细有限元模型对运载火箭进行考虑液体推进剂影响的自振频率分析时,二者分析结果偏差明显.此外,在考虑真实液体推进剂加载的情况下,分别采用虚拟质量法和流固耦合法对该运载火箭进行了考虑液体推进剂影响的自振频率分析,两种方法的分析结果偏差显著,其中等效梁模型的结果与虚质量法的结果最接近.综上所述,在对运载火箭进行考虑液体推进剂影响的动力学分析时,模型和等效方法的选择是需要重点考虑的因素.

4 总 结

本文提出了一种高效、准确的运载火箭动力学特性仿真预示方法.将复杂且庞大的运载火箭结构简化为能够反映其弯曲、扭转和轴向拉压运动特性的等效梁模型,极大地降低了模型规模,提高了仿真预示的计算效率.通过引入加权节点位移耦合关系,构建了运载火箭精细有限元模型振型和等效梁模型振型之间的联系.通过引入有限元模型修正方法,以精细有限元模型的模态分析结果为修正目标,对等效梁模型实施修正,缩小了其与精细有限元模型之间的差异.基于集中质量法和耦合质量法两种方法,考虑了贮箱内液体推进剂对运载火箭动力学特性的影响并与基于精细有限元模型通过虚拟质量法得到的结果进行了比较.

将本文方法应用于某型号运载火箭算例,得到了具有较高精度的运载火箭结构等效梁模型,并成功实施了考虑贮箱内液体推进剂影响的运载火箭动力学特性仿真预示.算例分析结果表明,本文方法是可行的,能够高效地对运载火箭动力学特性进行仿真预示.仿真分析结果表明,在对运载火箭进行考虑液体加载的动力学分析时,不同分析模型的预示结果偏差明显,因此,在运载火箭动力学仿真预示当中,需要重点关注模型和等效方法的选择.

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Dynamic Characteristics Prediction of Launch Vehicles Based on the Equivalent Beam Model

PIAO Siyang1, ZHU Chunyan2, CHU Fuyun2, ZHANG Yahui1

(1. State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian, Liaoning 116024, P.R.China; 2. Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201108, P.R.China)

Abstract: An efficient and accurate method was proposed for dynamic characteristics prediction of launch vehicles based on the equivalent beam model, with which the influence of liquid propellants can be considered. The equivalent beam model for the launch vehicle was established based on the cross-sectional area equivalence principle, and improved through model updating against the natural frequencies and mode shapes of the fine finite element model. The present method was validated through computation of a certain type of launch vehicles. A highly representative equivalent beam model for the launch vehicle was established. The dynamic characteristics of the launch vehicle were predicted based on the equivalent beam model under the influence of liquid propellants in 2 ways of the lumped mass method and the coupled mass method, and the results were compared.

Key words: launch vehicle; equivalent beam model; liquid propellant; model updating; model reduction

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

http://www.applmathmech.cn

*收稿日期: 2019-08-30; 修订日期:2019-09-18

基金项目: 国家自然科学基金(11672060);载人航天领域预先研究项目(010101)

作者简介: 朴思扬(1992—),男,博士生(E-mail: siyang_piao@mail.dlut.edu.cn);

朱春艳(1985—),女,高级工程师(E-mail: zhuchunyan@fudan.edu.cn);

褚福运(1986—),男,高级工程师(E-mail: chu_fuyun@163.com);

张亚辉(1972—),男,教授,博士生导师(通讯作者. E-mail: zhangyh@dlut.edu.cn).

引用格式: 朴思扬, 朱春艳, 褚福运, 张亚辉. 基于等效梁模型的运载火箭动力学特性仿真预示研究[J]. 应用数学和力学, 2020, 41(3): 280-291.

中图分类号: V414

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.400256

(Contributed by ZHANG Yahui, M. AMM Editorial Board)

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(11672060)