周期壁面电势调制下平行板微管道中的电磁电渗流动*

王 爽, 菅永军

(内蒙古大学 数学科学学院, 呼和浩特 010021)

摘要: 研究了平行板微管道中二维磁流体(MHD)电渗流(EOF)在zeta电势调制下的流动.流体的流动是由两个外加水平电场和垂直磁场所产生的Lorentz力和电场力的组合驱动的.在滑移边界条件下,得到了流函数以及速度分布的解析解.详细讨论了速度随Hartmann数Ha、滑移长度B、电动宽度K等相关的无量纲参数量级变化的变化规律.结果表明,调制的壁面电势会产生一个垂直速度分量,从而导致涡旋的形成.此外,可以观察到,速度的大小随着滑移长度B和电动宽度K的增大而增大.值得注意的是,速度的大小随着Ha值的增大而减小,这与一维流动中Ha值存在临界值的情况不同.

关 键 词: MHD; EOF; 微平行管道; 表面调制电势; Hartmann数

引 言

近年来,微流体控制设备被广泛应用于微电子系统、生物医学和生物化学仪器、化学分离仪器和热调控等领域[1-5].这些装置中利用压力梯度、电场、磁场或它们的适当组合可有效地驱动流体流动.与纯压力驱动流相比,电渗驱动机制由于其设计要求简单、缺少运动部件、具有高效的电路可重构性等优点,在微流体系统中得到了广泛的应用[6-7].在微管道中,当带电表面与电解质溶液接触时,电解质反离子有向带电表面移动的倾向,会形成具有高浓度反离子的双电层(EDL).在本文的研究中,MHD EOF是由一个外加横向水平电场、一个外加轴向水平电场和一个垂直施加在矩形微通道中的磁场作用产生的.其中,MHD流动的驱动力来源于Lorentz力,它是通过施加横向水平电场和垂直磁场产生的[8-9],EOF的形成是由外加轴向电场产生的电力引起的.

近年来,将磁场施加到微管道中以产生驱动力为目的的研究受到了广泛关注.Jang和Lee[10]最先将磁场应用于流体在微设备中的流动,证明了外加磁场的方向和强度可以有效地控制微流体中的流动.Nguyen[11]证明了外加磁场的方向和强度可以有效地控制微流体中的流动. Rivero和Cuevas[12]考虑了滑移条件对矩形微通道中MHD的影响.Chakraborty和Paul[13]从理论上研究了压力梯度、MHD和EOF的组合对平行微管道中流体流动的影响.Jian等[14]对平行微管道中瞬态旋转的MHD流动做了研究.Si和Jian[15]分析了黏弹性流体在具有粗糙度的平行微管道中的MHD流动.Xie和Jian[16]研究了微平行管道中两层流体的MHD EOF流动.

然而,上述研究均基于均匀壁面zeta势.事实上,微管道表面的化学不均匀性很可能是有明显目的的,是通过表面修饰技术设计而得到的[17-18],这通常使得壁面zeta势不均匀,也就是说,调制带电表面的研究更具实际意义.值得注意的是,zeta电势的轴向变化导致微管道中流体横向流动形成涡[19-20].Ghosh和Chakraborty[21]研究了黏弹性流体在电荷调制表面的EOF.Ghosh和Chakraborty[22]随后进一步研究了具有周期变化的滑移长度和电荷调制表面的电动流动.Mandal等[23]对狭窄管道中调制带电表面的两层流体的电渗流进行了研究,并且进行了界面变形的数值模拟.

本文研究了微平行管道在水动力滑移条件下具有调制带电表面的MHD EOF.与均匀壁面zeta势作用下的一维流动情况相比,流体流动由于壁面zeta势的周期变化变为二维.在求解过程中,引入了一个流函数,得到了流速度的封闭形式解析解,这个解依赖于4个重要的无量纲参数,即zeta势的波数α、滑移长度B、电动宽度K和Hartmann数Ha.最后,详细讨论了4个参数分别对速度分布的影响.

1 数 学 建 模

本文对矩形微管道中伴有对称的周期变化的带电表面的MHD EOF进行了研究.图1(a)中建立了三维直角坐标系,使得微管道上下壁面分别位于zh,并且在两个板面上存在形式为ξ=ξ0 cos(qx)的周期调制电势.轴向电场Ex外加于x方向、横向电场Ey外加于y方向、垂直磁场Bz外加于z方向,电场Ex, Ey以及磁场Bz均为常数.因此,MHD EOF被轴向的由EyBz相互作用产生的Lorentz力和Ex产生的电场力共同构成的力驱动.假设微管道的高度2h和宽度W都远小于长度L,即L≫2hLW,且宽高比W/h非常大,则由连续性方程,图1(a)中矩形微通道内的流动可近似为图1(b)中平行微管道内的流动.

图1 物理模型示意图
Fig. 1 Schematic diagram of the physical model

2 公 式 推 导

2.1 电势分布

假设壁面电势变化呈现出沿轴向的周期性变化,符合ξ=ξ0cos(qx),q为波数、ξ0是振幅.微管道中电势φ(x, z)的分布由Poisson-Boltzmann方程给出.在Debye-Huckel线性化近似[24]的框架下,静电势方程和边界条件可以写为

(1)

φ|z=h=ξ0cos(qx),

(2)

(3)

其中λ是Debye长度,表示EDL厚度的倒数,电荷密度ρe与电势φ(x, z)的关系可以表示为ρe=-ε2φ=-εφ/λ2,其中ε是介电常数.定义下列的无量纲量:

(4)

这里U0=-εξ0Ex/μ是纯电渗流的特征速度.利用式(4)可将电势的控制方程(1)及相应的边界条件(2)和(3)表示为

(5)

Φ|Z=1=cos(αX),

(6)

(7)

这里K=h/λ表示电动宽度,α=qh表示在x方向的无量纲波数.式(5)~(7)可以利用分离变量法来求解电势Ф(X,Z)的无量纲解析解[25],令Ф(X,Z)=Y(Z)cos(αX),并代入式(5)~(7)化简为

(8)

Y(1)=1,

(9)

Y′(0)=0.

(10)

因此求得电势表达式为

(11)

这里 Q= (K2+α2)1/2.

2.2 速度分布

流体模型是三维流动,因为LW,则三维流动可简化为二维流动.假设微管道中的流动为定常流动,典型的物理量的大小为:密度ρ=103 kg/m3,速度U=10-4 m/s,管道厚度H=10-4 m, 黏度μ=10-3 kg/(m s),因此Re(=ρUH/μ)的量级为0.01,故动量方程的对流项可以忽略.此时MHD EOF的速度满足以下动量方程和边界条件:

(12)

(13)

(14)

w|z=h=0,

(15)

(16)

w|z=0=0,

(17)

其中uw分别是水平和垂直速度,μ是黏度,p是压强,σe是导电系数,b是滑移长度[26-27].利用式(4), 无量纲控制方程(12)、(13)以及边界条件(14)~(17)可表示为

(18)

(19)

(20)

W|Z=1=0,

(21)

(22)

W|Z=0=0,

(23)

这里S=EyhU0(σe /μ)1/2表示无量纲横向电场强度, Ha=Bzh(σe /μ)1/2表示Hartmann数.

下面求解流场.基于二维流动的连续性方程,可以定义一个流函数Ψ(X,Z),使它满足U=∂Ψ/∂Z,W=-∂Ψ/∂X.因此,消去压力项后,方程(18)~(23)被简化为流函数的形式:

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

将电势的表达式(11)代入方程(24)后,根据方程(24)的右边形式,流函数可以表示为分离变量的形式Ψ(X,Z)=f(Z)cos(αX),将其代入式(24)~(28)可以得到

(29)

(Bf″(Z)+f′(Z))|z=1=0,

(30)

f(Z)|Z=1=0,

(31)

f″(Z)|Z=0=0,

(32)

f(Z)|Z=0=0.

(33)

可以看出式(29)为一个四阶常系数非齐次常微分方程,其通解可以表示为齐次问题的通解和非齐次问题的特解.最后,利用边界条件(30)~(33),流函数的解析解为

(34)

其中系数A, C, MN

A=-[-K2Q3sinh(N)+NK2Q2cosh(N)tanh(Q)+BN2K2Q2sinh(N)tanh(Q)-

BK2Q4sinh(N)tanh(Q)]/{(K4-Ha2Q2)[-Nsinh(M)cosh(N)+

Mcosh(M)sinh(N)+BM2sinh(M)sinh(N)-BN2sinh(M)sinh(N)]},

(35)

C=-[K2Q3sinh(M)-MK2Q2cosh(M)tanh(Q)-BM2K2Q2sinh(M)tanh(Q)-

BK2Q4sinh(M)tanh(Q)]/{sinh(N)(K4-Ha2Q2)[-Mcosh(M)-

BM2sinh(M)+BN2sinh(M)+Nsinh(M)coth(N)]},

(36)

(37)

(38)

对式(34)求导,得到速度分布表达式为

(39)

(40)

3 结果与讨论

在上一节中,我们得到了MHD EOF的流函数和速度的解析解,它们依赖于上文定义的几个无量纲参数.由于本文的物理模型是基于微驱动装置的实际模型建立的,所以解析表达式中的所有参数都有各自的范围.假设微平行管道的高度2h范围为10~500 μm, 外加磁场Bz范围为0.44~0.01 T[28-29],导电率σe范围为2.2×10-4~4×10-6 S/m,流体的密度ρ为103 kg/m3,流体黏度μ为10-3 kg/(m s)[30].因此, Hartmann数Ha量级大小为0~5,电动宽度K量级大小为1~100 .另外,无量纲滑移长度B的量级大小假设为0~1.

图2为在不同波数情况下的流线图.结果表明,图2(a)中的流线图与具有调制表面电势的电渗流的研究结果[26]类似.由于壁面上的轴向调制电势,流动中存在封闭涡环.每四个相邻的反向旋转涡在流场中形成一个周期,说明了两个水平电场和一个垂直磁场的组合可以形成一个周期明显的混合场.通过比较图2(a)和图2(b),发现轴向波数α可以控制流场周期和涡数,随着α的量级增大,周期变小,涡的个数增加.

图3(a)展示了不同量级的滑移长度B对水平速度分量UX=0时的影响.从图中可以看出,水平速度分量U呈现出减-增的变化趋势,其幅值随B的量级的增大而增大.由于对称的调制带电表面,水平速度分量U关于微管道中心线对称.此外,水平速度U在靠近两侧壁面时出现了微小的波动,随着滑移长度B的增加,波动趋势变小.从图3(b)观察到,当Z<0时垂直速度分量WX=π/2处处于Z轴正方向,当Z>0时其处于Z轴负方向且形状与正轴的完全相同.同样,速度的大小随着滑移长度B的增加而增大.

(a) α=1 (b) α=2
图2 流线图(-3π/(2α)<X<3π/(2α), -1<Z<1, K=5,B=1,Ha=2)
Fig. 2 The streamlines shown for -3π/(2α)<X<3π/(2α), -1<Z<1(K=5,B=1,Ha=2)

图4描述了水平速度分量UX=0处和垂直速度分量WX=π/2处随着电动宽度K的量级的变化而产生的变化.可以看到,每条速度曲线都表现出对称的轮廓,速度U和速度W的大小随着K的增大而增大.当接近EDL时,这种现象尤为明显,这很可能是因为薄的EDL会引起上下壁面附近的速度梯度快速变化,从而增加了水平速度(见图4(a)).此外,从图4(b)的图像分析出,为了保持由调制带电表面形成的稳定的涡结构,在水平速度增加时垂直速度相应地增加.

图5为不同Ha下的水平速度分量U和垂直速度分量W的速度曲线,其分别位于X=0处以及X=π/2处.由图5(a)可以看出,所有水平速度分量U均呈现M形轮廓,这是因为两侧壁面滑移长度为0 .在图5(b)中可以看到,垂直速度分量WZ<0和Z>0时表现出相反的趋势但具有相同的构型,当Ha<1时速度场变化不明显,而当Ha>1时速度场变化非常明显.更重要的是,图5(a)和图5(b)显示两个方向的速度都随着Ha的增加而单调变小,这个现象表明了Ha是阻碍速度场变大的,并且不同于一维流动时Ha存在一个明显的临界值的情况.这是因为在式(21)中用流函数表示方程时,将式(14)中对Lorentz力有影响的O(HaS)这一项已消除.

4 总 结

本文研究了微平行管道中,在滑移作用下伴随调制的带电表面的MHD EOF.首先,利用变量分离的方法,得到了流函数的解析形式,进而推导出了其封闭形式解析解.然后,给出了由封闭环涡组成的流线图,并总结出流场周期与电势波数α的关系.接下来绘制出了随滑移长度B、电动宽度K和Hartmann数Ha不同组合的变化而变化的速度分布图.可以看到速度大小随着滑移长度B和电动宽度K的增大而增大这一普遍规律在本文中仍然成立,但是速度大小随着Hartmann数Ha的增大而单调减小,这一特性是以往均匀zeta势下的一维流体流动所不具有的.

参考文献(References):

[1] GRAVESEN P, BRANEBJERG J, JENSEN O S. Microfluidics: a review[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 1993, 3(4): 168.

[2] BECKER H, GRTNER C. Polymer microfabrication methods for microfluidic analytical applications[J]. Electrophoresis, 2000, 21(1): 12-26.

[3] ZIAIE B, BALDI A, LEI M, et al. Hard and soft micromachining for BioMEMS: review of techniques and examples of applications in microfluidics and drug delivery[J]. Advanced Drug Delivery Reviews, 2004, 56(2): 145-172.

[4] NGUYEN N T, WU Z. Micromixers: a review[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2005, 15(2): R1-R16.

[5] OHNO K, TACHIKAWA K, MANZ A. Microfluidics: applications for analytical purposes in chemistry and biochemistry[J]. Electrophoresis, 2008, 29(22): 4443-4453.

[6] CULBERTSON C T, RAMSEY R S, RAMSEY J M. Electroosmotically induced hydraulic pumping on microchips: differential ion transport[J]. Analytical Chemistry, 2000, 72(10): 2285-2291.

[7] DASGUPTA P K, LIU S. Electroosmosis: a reliable fluid propulsion system for flow injection analysis[J]. Analytical Chemistry, 1994, 66(11): 1792-1798.

[8] BAU H H, ZHU J, QIAN S, et al. A magneto-hydrodynamically controlled fluidic network[J]. Sensors and Actuators B: Chemical, 2003, 88(2): 205-216.

[9] QIAN S, BAU H H. Magneto-hydrodynamics based microfluidics[J]. Mechanics Research Communications, 2009, 36(1): 10-21.

[10] JANG J, LEE S S. Theoretical and experimental study of MHD (magnetohydrodynamic) micropump[J]. Sensors and Actuators A: Physical, 2000, 80(1): 84-89.

[11] NGUYEN N T. Micro-magnetofluidics: interactions between magnetism and fluid flow on the microscale[J]. Microfluid Nanofluid, 2012, 12: 1-16.

[12] RIVERO M, CUEVAS S. Analysis of the slip condition in magnetohydrodynamic (MHD) micropumps[J]. Sensors and Actuators B: Chemical, 2012, 166: 884-892.

[13] CHAKRABORTY S, PAUL D. Microchannel flow control through a combined electromagnetohydrodynamic transport[J]. Journal of Physics D: Applied Physics, 2006, 39(24): 5364-5371.

[14] JIAN Y J, SI D Q, CHANG L, et al. Transient rotating electromagnetohydrodynamic micropumps between two infinite microparallel plates[J]. Chemical Engineering Science, 2015, 134: 12-22.

[15] SI D Q, JIAN Y J. Electromagnetohydrodynamic (EMHD) micropump of Jeffrey fluids through two parallel microchannels with corrugated walls[J]. Journal of Physics D: Applied Physics, 2015, 48(8): 085501.

[16] XIE Z Y, JIAN Y J. Entropy generation of two-layer magnetohydrodynamic electroosmotic flow through microparallel channels[J]. Energy, 2017, 139: 1080-1093.

[17] STROOCK A D, WECK M, CHIU D T, et al. Patterning electro-osmotic flow with patterned surface charge[J]. Physical Review Letters, 2000, 84(15): 3314-3317.

[18] BIDDISS E, ERICKSON D, LI D. Heterogeneous surface charge enhanced micromixing for electrokinetic flows[J]. Analytical Chemistry, 2004, 76(11): 3208-3213.

[19] AJDARI A. Generation of transverse fluid currents and forces by an electric field: electro-osmosis on charge-modulated and undulated surfaces[J]. Physical Review E, 1996, 53(5): 4996-5005.

[20] YARIV E. Electro-osmotic flow near a surface charge discontinuity[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2004, 521: 181-189.

[21] GHOSH U, CHAKRABORTY S. Electroosmosis of viscoelastic fluids over charge modulated surfaces in narrow confinements[J]. Physics of Fluids, 2015, 27(6): 062004.

[22] GHOSH U, CHAKRABORTY S. Electrokinetics over charge-modulated surfaces in the presence of patterned wettability: role of the anisotropic streaming potential[J]. Physical Review E, 2013, 88(3): 033001.

[23] MANDAL S, GHOSH U, BANDOPADHYAY A, et al. Electro-osmosis of superimposed fluids in the presence of modulated charged surfaces in narrow confinements[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2015, 776: 390-429.

[24] STONE H A, STROOCK A D, AJDARI A. Engineering flows in small devices: microfluidics toward a lab-on-a-chip[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2004, 36: 381-411.

[25] DATTA S, CHOUDHARY J N. Effect of hydrodynamic slippage on electro-osmotic flow in zeta potential patterned nanochannels[J]. Fluid Dynamics Research, 2013, 45(5): 055502.

[26] AJDARI A.Electro-osmosis on inhomogeneously charged surfaces[J]. Physical Review Letters, 1995, 75(4): 755-758.

[27] EIJKEL J C T. Liquid slip in micro- and nanofluidics: recent research and its possible implications[J]. Lab on a Chip, 2007, 7(3): 299-301.

[28] JIAN Y J, CHANG L. Electromagnetohydrodynamic (EMHD) micropumps under a spatially non-uniform magnetic field[J]. AIP Advances, 2015, 5(5): 057121.

[29] LIU Y P, JIAN Y J, LIU Q S, et al. Alternating current magnetohydrodynamic electroosmotic flow of Maxwell fluids between two micro-parallel plates[J]. Journal of Molecular Liquids, 2015, 211: 784-791.

[30] 许丽娜, 菅永军. 柔性圆柱形微管道内的电动流动及传热研究[J]. 应用数学和力学, 2019, 40(4): 408-418.(XU Lina, JIAN Yongjun. Electrokinetic flow and heat transfer in soft microtubes[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2019, 40(4): 408-418.(in Chinese)

Magnetohydrodynamic Electroosmotic Flow in Zeta Potential Patterned Micro-Parallel Channels

WANG Shuang, JIAN Yongjun

(School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, P.R.China)

Abstract: Two-dimensional magnetohydrodynamic (MHD) electroosmotic flow (EOF) in zeta potential patterned micro-parallel channels was studied. The flow was driven by the combination of the Lorentz force and the electric field force produced due to an externally imposed vertical magnetic field and two horizontal electric fields. The analytical solutions of stream function and velocity distribution were obtained under the condition of hydrodynamic slippage. The variations of velocities with related non-dimensional parameters, such as Hartmann number Ha, slip length B and electrokinetic width K were addressed in detail. Results show that, the patterned charged surfaces induce a vertical velocity component leading to the formation of the vortexes. Also, the magnitudes of velocities increase with slip length B and electrokinetic width K. Moreover, it is interesting to note that the magnitudes of velocities become small with the increasing value of Ha, unlike the situation where there exists a critical value of Ha in one-dimensional flow. The present theoretical results can be utilized to design efficient microfluidic devices.

Key words: magnetohydrodynamic; electroosmotic flow; micro-parallel channel; zeta potential patterned surface; Hartmann number

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

http://www.applmathmech.cn

*收稿日期: 2019-04-26;

修订日期:2019-05-14

基金项目: 国家自然科学基金(11772162;11472140);内蒙古自治区高等院校科研项目(NJZY18006);内蒙古自治区自然科学基金(2016MS0106);内蒙古自治区“草原英才”工程(12000-12102013)

作者简介:

王爽(1994—),女,硕士生(E-mail: 515425879@qq.com);

菅永军(1974—),男,教授,博士生导师(通讯作者. E-mail: jianyj@imu.edu.cn).

引用格式: 王爽, 菅永军. 周期壁面电势调制下平行板微管道中的电磁电渗流动[J]. 应用数学和力学, 2020, 41(4): 396-405.

中图分类号: O357.1

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.400151

Foundation item: The National Natural Science Foundation of China(11772162;11472140)