剪力滞效应这种力学现象不仅普遍存在于混凝土和钢薄壁箱梁中,在波形钢腹板-钢底板-混凝土顶板(CSWSBCT)组合箱梁中也同样存在,在组合箱梁设计计算中需要重视.目前的分析方法主要有理论分析、模型试验、数值模拟等方法.众多学者基于弹性力学理论的基础,求解了混凝土薄壁箱梁剪力滞效应的解析解,并采用数值模拟及模型试验等方法对该种箱梁进行了分析研究.还有部分学者对传统波形钢腹板(CSW)组合箱梁的剪力滞效应进行了研究,取得了一定的研究成果.
吴文清等[1-3]通过制作的模型试验,结合理论推导和数值模拟,对CSW组合箱梁剪力滞效应、“拟平截面假定”及影响剪力滞效应的主要结构参数进行了分析模拟,得出了CSW组合箱梁剪力滞效应的分布规律和理论计算方法,为传统组合箱梁剪力滞系数的计算提供了理论依据.李立峰等[4]得出不同载荷作用下CSW组合箱梁剪力滞效应计算表达式,并探讨了该类型箱梁波高区混凝土的计算取值问题.冀伟等[5-6]推导出了CSW箱梁在集中力作用下的正应力,在考虑剪切变形与剪力滞效应的基础上,采用三种方法结合的方式对CSW简支梁、两跨连续梁的剪力滞系数计算公式进行了推导,并分析剪力滞系数分布规律.向宇[7]、周茂定等[8]结合薄壁箱梁比拟杆法的计算原理,推导出了对CSW组合箱梁采用三杆比拟叠加法求解剪力滞系数的计算公式.周勇超等[9]证明了按二次抛物线定义翘曲位移函数具有较高的求解精度,并基于最小势能原理推导了变截面波形钢腹板组合梁截面的翘曲位移函数、附加弯矩、挠度以及剪力滞系数的递推计算公式.陈水生等[10]在重新定义波形钢腹板箱梁剪滞翘曲位移函数的基础上,通过能量变分法得出了单箱多室CSW组合箱梁的解析解,并采用有限元方法和解析方法分析研究了单箱多室的剪力滞效应的分布规律.卫星等[11]根据7种结构几何参数变化,讨论了CSW PC 组合箱梁与预应力混凝土箱梁的剪力滞效应的分布情况.石聪[12]和操俊林[13]采用换算截面法对单箱单室和双箱单室CSWSBCT组合箱梁的剪力滞效应进行了综合分析.
本文以CSWSBCT组合箱梁为研究对象,考虑混凝土顶板和钢底板不同的模量,结合变分法推导了该类型组合箱梁剪力滞效应的控制微分方程组和边界条件;建立了CSWSBCT组合箱梁两跨连续状态的剪力滞系数的计算公式;并将理论计算值与实测值和有限元值进行对比分析,验证了理论的正确性.
波形钢腹板U型钢梁和混凝土顶板形成的CSWSBCT组合箱梁如图1所示.假定为理想弹性体,纵向弯曲受力时,忽略混凝土顶板内的钢筋作用,组合钢梁和混凝土板符合“拟平截面假定”,波形钢腹板只考虑γxz,假定钢梁底板和混凝土顶板的εy=εz=γxz=γyz=0,只考虑εx和γxy.则组合箱梁中各板件的纵向位移u(x,y,z)为
u(x,y,z)=hθ(x)+f(y,z)ξ(x),
(1)
式中f(y,z)为适用于该组合箱梁桥的剪力滞翘曲位移函数,γ(x)为该组合箱梁的剪切应变值,θ(x)为该组合箱梁波形钢腹板变形后的转角,ξ(x)为组合箱梁的最大纵向位移差函数,h为混凝土顶板至钢底板轴线间的距离.
(2)
d为满足全截面轴力自平衡的附加轴力位移.对于不受轴力的受弯组合箱梁而言,组合箱梁截面上应力之和为零,根据截面轴力为零的平衡条件得
(3)
式中A为全截面的面积(A=At+Ac+Ab);At为顶板截面面积的一半,At=t1b1,Ac为悬臂板截面面积的一半,Ac=t1b3,Ab为底板截面面积的一半,Ab=t2b2,Gs为钢材的剪切模量,Gc为混凝土剪切模量.
Samanta等在文献[14]中指出,波形钢腹板的剪切模量Ge应按下式进行修正计算:
(4)
式中L1,L2,L3表示的几何尺寸如图2所示.
图1 CSWSBCT组合箱梁截面示意图 图2 波形钢腹板几何构造图
Fig.1 The cross section of the CSWSBCT Fig.2 The geometric structure of the
composite box girder corrugated steel web
单箱单室CSWSBCT组合箱梁的外力势能为
(5)
组合箱梁腹板剪切应变能为
(6)
式中Aw为波形钢腹板横截面的面积.
组合箱梁顶底板的应变能为
(7)
式中Ec,Gc,Es,Gs分别为混凝土和钢材的弹性模量和剪切模量,下标c表示混凝土,下标s表示钢材;
CSWSBCT组合箱梁体系的总势能为
Π=-W+Vω+Vsu=
M(x)θ′(x)dx.
(8)
令
由能量变分法得出的微分方程和边界条件为
(9)
得剪力滞微分方程为
(10)
式中
微分方程解的一般表达式为
(11)
式中D为与剪力Q(x)分布有关的特解,C1,C2由边界条件确定.
考虑剪力滞效应的弯曲正应力为
(12)
式中计算上翼缘板剪力滞效应的弯曲正应力时Ei取Ec,计算下翼缘板剪力滞效应的弯曲正应力时Ei取Es,hi为翼缘板的z坐标.
CSWSBCT组合箱梁剪力滞系数为
(13)
式中σ为初等梁理论计算的CSWSBCT组合箱梁的纵向正应力.
两等跨CSWSBCT等截面连续组合箱梁集中荷载工况如图3所示,支座反力RA=0.312P,RC=1.376P,RE=0.312P,其弯矩和剪力如下:
当时,
(14)
当时,
(15)
图3 CSWSBCT连续组合箱梁集中荷载工况示意图
Fig.3 Schematic diagram of the CSWSBCT continuous composite box girder under concentrated loads
剪力滞控制微分方程为
(16)
(17)
上两式的通解分别为
(18)
(19)
式中c1,c2,c3和c4为由边界条件确定的常数.
边界条件为
ξ′1(x)|x=0=0,
ξ2(x)|x=l=0,
ξ1(x)|x=l/2=ξ2(x)|x=l/2,
由边界条件可得c1,c2,c3和c4为
代入式(18)、(19)可得
(20)
(21)
当0≤x≤l/2时,考虑剪力滞效应的弯曲正应力为
σi(x,y,z)=
(22)
当时,考虑剪力滞效应的弯曲正应力为
σi(x,y,z)=
(23)
当集中力作用于跨中时,σ=(hi/I)M(x),代入式(13)得CSWSBCT组合箱梁剪力滞系数为
λi(x,y,z)=
(24)
两跨受均布荷载q作用下等截面CSWSBCT连续组合箱梁如图4所示,支座反力RA=RE=0.375ql,RC=1.25ql,以左跨为研究对象.
图4 CSWSBCT连续组合箱梁均布荷载工况示意图
Fig.4 Schematic diagram of the CSWSBCT continuous composite box girder under uniform load
当0≤x≤l时,弯矩与剪力为
(25)
微分方程为
(26)
式(26)的通解为
(27)
边界条件为
ξ′(x)|x=0=0, ξ(x)|x=l=0.
将ξ(x)代入边界条件可得
将c1,c2代入式(27)可得
(28)
考虑剪力滞效应的弯曲正应力为
(29)
将σi代入式(13),得CSWSBCT组合箱梁跨中截面剪力滞系数为
(30)
单箱单室CSWSBCT模型试验梁的横截面尺寸(如图5所示)是参照交规院设计的40 m跨径的CSWSBCT组合箱梁桥的截面尺寸设计,并按照1∶5的比例进行缩小.试验梁混凝土顶板采用C50细石混凝土,波形钢腹板和钢底板均用Q235钢板制作,Q235钢材的Es为206 GPa,ν为0.3,普通钢筋采用φ6的一级钢筋.单箱单室CSWSBCT两等跨连续组合箱梁的模型试验梁,跨径为4 m+4 m,共设置七道横隔板,单箱单室CSWSBCT半顶板半底板平面图如图6所示.波形刚腹板的板厚4 mm,波形钢腹板构造示意图如图7所示,波形钢腹板主视图如图8所示,单箱单室CSWSBCT连续组合箱梁均布荷载加载图如图9所示.
图5 单箱单室CSWSBCT组合箱梁横截面图(单位: mm)
Fig.5 The cross section of the CSWSBCT composite single-cell box girder(unit: mm)
采用软件ANSYS 15.0对CSWSBCT组合箱梁建立有限元模型,混凝土顶板采用实体单元Solid45来模拟,波形钢腹板、钢底板、纵肋及横隔板均采用板壳单元Shell63来模拟.由于实际桥梁结构中波形钢腹板与钢底板是焊接的,与混凝土顶板采用剪力键连接,在模型中壳单元与实体单元共用节点,采用主从节点方法建立约束方程连接.单箱单室CSWSBCT两跨连续组合箱梁边界的模拟:跨中支座为固定铰支座,梁端为活动支座,模型试验梁分别约束两个方向的线位移和三个方向,单箱单室CSWSBCT组合箱梁有限元模型如图10所示.在每个测试截面上应变测点布置图如图11所示,各个测试截面混凝土顶板布置9个混凝土应变片,钢底板布置5个钢应变片.
图6 单箱单室CSWSBCT组合箱梁半顶板半底板平面图(单位: mm)
Fig.6 The plan of the half top plate and the half bottom plate of the CSWSBCT
composite single-cell box girder(unit: mm)
图7 波形钢腹板构造示意图(单位: mm)
Fig.7 Schematic diagram of the corrugated steel web (unit: mm)
图8 波形钢腹板主视图(单位: mm) 图9 CSWSBCT连续组合箱梁均布荷载加载图
Fig.8 The main view of the corrugated Fig.9 The uniform loading on the CSWSBCT
steel web (unit: mm) continuous composite box girder
以制作的CSWSBCT两跨连续组合试验箱梁为例,在两跨跨中施加集中荷载作用,荷载大小为34.7 kN,运用推导的求解剪力滞系数的表达式求得跨中和中间支点截面上混凝土顶板和钢底板的理论值,并与ANSYS有限元值及模型试验实测值进行对比分析,如图12、13所示(底板的剪力滞系数也是正值,为了作图方便取了负值,后同).
由图12、13可知,运用推导的求解CSWSBCT两等跨连续组合箱梁集中荷载工况的剪力滞系数表达式,求得跨中截面处和中间支点截面处混凝土顶板和钢底板的理论值,与ANSYS有限元值及模型试验实测值吻合较好,验证了求解CSWSBCT两等跨连续组合箱梁集中荷载工况的剪力滞系数表达式正确.跨中截面处顶板的剪力滞系数比底板的剪力滞系数最大值要大,说明混凝土顶板的剪力滞效应比钢底板的剪力滞效应明显.中间支点截面处上翼缘板的剪力滞系数最大值比下翼缘板剪力滞系数最大值要大,中间支点处上、下翼缘板的剪力滞效应比跨中截面的剪力滞效应明显,与有限元值和实测值三种计算方法得到的剪力滞效应变化趋势一致.
图10 单箱单室CSWSBCT组合箱梁的 图11 CSWSBCT组合箱梁测试截面应变片
有限元模型 布置示意图(单位: mm)
Fig.10 The finite element model for the CSWSBCT Fig.11 Schematic diagram of strain gauges
composite single-cell box girder on the test section of the CSWSBCT
composite box girder(unit: mm)
图12 CSWSBCT连续梁集中荷载跨中剪力滞系数 图13 CSWSBCT连续梁集中荷载内支点剪力滞系数
Fig.12 Mid-span shear lag coefficients of the CSWSBCT Fig.13 Shear lag coefficients at the intermediate support
continuous beam under a concentrated load of the CSWSBCT continuous beam
under a concentrated load
以制作的单箱单室CSWSBCT两跨连续组合试验箱梁为例,施加均布荷载作用时,荷载大小为6.579 kN/m,运用推导的求解剪力滞系数的表达式计算跨中截面和中间支点截面处混凝土顶板和钢底板的理论值,并与ANSYS有限元值及模型试验实测值进行对比分析,如图14、15所示.
由图14、15可知,运用推导的求解CSWSBCT两等跨连续组合箱梁均布荷载工况的剪力滞系数表达式,求得跨中截面处和中间支点截面处混凝土顶板和钢底板的理论值,与ANSYS有限元值及模型试验实测值,三者变化趋势一致,验证了求解CSWSBCT两等跨连续组合箱梁均布荷载工况的剪力滞系数表达式正确.同样,跨中截面处混凝土顶板的剪力滞效应比钢底板的剪力滞效应明显.中间支点截面处上翼缘板的剪力滞系数最大值比下翼缘板剪力滞系数最大值大,中间支点处上、下翼缘板的剪力滞效应比跨中截面的剪力滞效应明显,与有限元值和实测值三种计算方法得到的剪力滞效应变化趋势一致.
图14 CSWSBCT连续梁均布荷载跨中剪力滞系数 图15 CSWSBCT连续梁均布荷载内支点剪力滞系数
Fig.14 Mid-span shear lag coefficients of the Fig.15 Shear lag coefficients at the intermediate
CSWSBCT continuous beam support of the CSWSBCT continuous
under uniform load beam under uniform load
将单箱单室CSWSBCT两等跨连续组合箱梁在承受集中荷载工况和均布荷载工况时,按照三种不同方法计算所得的混凝土顶板、钢底板上剪力滞系数的最大值列于表1.
表1 CSWSBCT连续组合箱梁的剪力滞系数的最大值
Table 1 Maximum shear lag coefficients of the CSWSBCT continuous composite box girder
load typecomparative contentpositiontestedtheoreticalnumericalconcentrated loadmaximum shear lag coefficient of topmid span1.0861.2001.167intermediate support1.2281.2291.210maximum shear lag coefficient of bottommid span1.0161.0021.009intermediate support1.0181.0021.043uniform loadmaximum shear lag coefficient of topmid span1.0481.0521.062intermediate support1.1961.2871.317maximum shear lag coefficient of bottommid span1.0321.0011.044intermediate support1.0171.0031.038
由表1可知,单箱单室CSWSBCT两等跨连续组合箱梁在不同的荷载工况下,采用三种不同计算方法所得跨中截面处混凝土顶板和钢底板的剪力滞系数吻合较好,验证了单箱单室CSWSBCT两等跨连续组合箱梁在集中荷载和均布荷载工况下剪力滞系数表达式的正确性.
在集中荷载工况下,CSWSBCT两等跨连续组合箱梁跨中截面混凝土顶板和钢底板的剪力滞系数最大值大于均布荷载工况下剪力滞系数最大值.
应用推导的求解CSWSBCT两等跨连续组合箱梁均布荷载工况下的剪力滞系数表达式,求得中间支点截面上混凝土顶板和钢底板的剪力滞系数最大值,大于集中荷载工况下剪力滞系数最大值,这在工程实际中应给予重视.
本文考虑了混凝土顶板和钢底板不同的模量,结合变分法推导了波形钢腹板-钢底板-混凝土顶板组合箱梁剪力滞效应的控制微分方程组和自然边界条件,建立了CSWSBCT两等跨连续箱梁不同荷载作用下剪力滞系数的计算公式,并将其理论计算值与实测值和有限元值进行对比,得出如下结论:
1) 采用推导的求解CSWSBCT两等跨连续组合箱梁不同荷载工况下的剪力滞系数表达式,求得跨中截面处混凝土顶板和钢底板的理论值,与有限元值及实测值吻合良好,验证了求解剪力滞系数的表达式正确.
2) 应用推导的求解CSWSBCT两等跨连续组合箱梁均布荷载工况下的剪力滞系数表达式,求得中间支点截面处混凝土顶板和钢底板的理论最大值,大于集中荷载工况下剪力滞系数最大值,且在两种荷载工况下中间支点截面处波形钢腹板和混凝土顶板、钢底板交界处的剪力滞效应突出.理论计算值和ANSYS有限元值及模型试验实测值在远离波形钢腹板的顶底板上吻合良好,变化趋势一致.
致谢 本文作者衷心感谢兰州交通大学青年科学基金(2018015)对本文的资助.
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马驰(1985—),男,副教授,博士(通讯作者.E-mail: machi0208244@163.com);
刘世忠(1962—),男,教授,博士,博士生导师(E-mail: liusz2000@163.com).