单位圆外域-洞室外域共形映射下任意开挖断面隧洞围岩应力解析解*

施高萍1,祝江鸿2,3,杨建辉2

(1.浙江水利水电学院 机械与汽车工程学院, 杭州 310018;2.浙江科技学院 土木与建筑工程学院, 杭州 310023; 3.杭州大江东投资开发有限公司, 杭州 311222)

摘要: 以地下任意开挖断面隧洞为研究对象,将原岩应力场归化为无穷远处与水平轴呈一角度的均匀应力场,引入单位圆外域-洞室外域的共形映射函数,把目标域中以变量z表示的围岩应力函数转化为映射域中的变量ζ表示将洞壁的应力边界条件方程转化成Cauchy积分方程,利用被积函数的解析性和留数理论,获得了任意开挖断面隧洞围岩应力函数解析通式和围岩应力解析解将椭圆形隧洞应力边界条件代入应力函数解析通式,求得的φ(z)和ψ(z)与文献结果一致;以公路两车道隧道为研究对象,利用围岩应力解析解开展围岩应力计算和分析,所获结果符合工程规律;利用ABAQUS软件对隧道洞壁应力进行对比分析,分布规律与解析解结果一致研究表明,只要给出任意开挖断面隧洞的单位圆外-洞室外域共形映射函数,利用研究成果可方便地开展围岩应力解析计算分析

关 键 词: 共形映射;任意开挖断面;解析解;围岩应力函数;留数理论

引 言

目前的多种数值计算方法可较方便地用于地下隧洞围岩的应力-变形分析,且在涉及到复杂几何形状问题时,数值计算方法往往比经典的解析方法更易获得理想的结果但是,通过对地下隧道围岩应力解析结果分析获得的规律性认识,在理论和应用方面的价值是不容忽视的[1-2]其中,Muskhelishvili基于共形映射的复变函数法是求解平面弹性孔口应力解析解的强有力工具,而获取用来表示应力函数的映射函数ω(ζ)(多为Taylor级数或是Laurent级数的有限项),及两个解析函数φ(z)和ψ(z)的解析式,则是进行围岩应力计算分析的前提[3-7]当地下洞室断面为圆形、椭圆形及鹅卵形等形状时,由于几何断面较简单,获得将单位圆内(外)域映射到目标区域(开挖断面的内外域)的映射函数求解相对容易,且构成映射函数的项数分别为1、2和4,函数形式较简单,因此解析函数φ(z)和ψ(z)的求解及围岩应力解析闭合解的获得相对容易[8-9]

对于复杂断面的地下隧洞,映射函数ω(ζ)和解析函数φ(z)和ψ(z)的求解要复杂得多目前,对映射函数的研究相对成熟:其中,朱大勇等[10]的复杂形状洞室映射函数的新解法,皇甫鹏鹏等[11]基于边界点搜索的映射函数求解方法,Zhu等[12]基于Мелентьев法的映射函数近似求解研究,祝江鸿等[13]的单位圆外域到任意开挖断面隧洞外域共形映射的计算方法等,是单位圆外域-任意开挖断面隧洞外域映射函数的求解研究中较有代表性的;王润富[14]基于Taylor级数的共形映射函数计算研究,Delillo等[15]基于Faber级数法的映射函数数值计算研究以及郑志强[16]基于Schwarz-Christoffel积分公式的映射函数研究等,是单位圆内域-目标域映射函数研究中较有代表性的从映射函数研究成果应用于解析函数φ(z)和ψ(z)的求解及地下任意开挖断面隧洞围岩力学解析分析方面看,将单位圆外域共形映射到任意开挖断面隧洞外域的映射函数应用较广泛:例如,祝江鸿[6]的隧洞围岩应力复变函数分析法中的两个解析函数求解,刘允芳等[17]的非圆形洞室应力监测反馈分析的复变函数方法,皇甫鹏鹏等[18]的基于高效保角变换的单个复杂洞室围岩应力场解析解研究,Zhang等[19]的任意开挖断面深埋隧道解析解,Batista[3]基于无限远处均匀荷载作用下的无限平面中孔洞的应力集中分析及朱大勇等[20]的复杂形状洞室围岩应力弹性解析分析等

实际上,无论是采用单位圆外域-隧洞外域映射条件,还是采用单位圆内域-隧洞外域映射条件,基于复变函数法的地下任意开挖断面围岩力学解析分析的难点主要集中在φ(z)和ψ(z)的求解上Batista[3]、Verruijt[5]、Zhang等[19]和朱大勇等[20]分别用三个级数代替洞壁应力边界条件方程中的φ0(ζ),ψ0(ζ)和项,然后根据方程中同幂项相等的原则求得级数中的系数刘允芳等[17]、皇甫鹏鹏等[18]、张路青等[21]则先将洞壁应力边界条件方程转化成带有Cauchy积分算子的积分方程,对部分积分项的求解采用了Cauchy积分公式和Cauchy-Goursat基本定理,而对被积函数则用一个新级数来代替赵凯等[22]在求解矩形硐室开挖后的围岩应力解析时,在推导φ(z)和ψ(z)过程中,为简化计算,映射函数只取了3项由于上述文献中针对φ(z)和ψ(z)的求解,采用了级数解法或Cauchy积分公式和级数法的混合解法,并不能给出φ(z)和ψ(z)的解析通式因此,在进行具体开挖断面隧洞围岩应力和位移解析分析时,对每一问题均要重复φ(z)和ψ(z)的推导,整个过程较繁琐,不具通用性;同时采用新级数代替φ(z),ψ(z)和均涉及到采用数值方法求解级数中的系数问题,因此是属于半解析解另外,Gerçek[4]和Exadaktylos等[2]通过直接给出φ(z)和ψ(z)通式,对隧洞围岩应力进行了解析分析,避免了采用数值法求新级数的过程,一定程度上属于解析闭合解(不考虑映射函数的数值解法带来的误差),但通式是在映射函数只取4项的前提下导出的,仅适用于拱顶为弓形、拱底为抛物线的开挖断面,使用范围有限

祝江鸿[6]将隧洞围岩应力边界条件方程转化成积分方程,利用留数理论对积分方程中的各被积函数解析性进行了讨论,并获得了φ(z)和ψ(z)的解析通式,利用该成果和文献[13]中的成果对矩形巷道孔边应力进行了弹性分析[23],这是较其他方法进步的地方但获得φ(z)和ψ(z)解析通式的条件,是将地应力场简化为水平和竖向均布的应力事实上,世界各地的地应力实测资料表明,由于构造应力普遍存在,导致原岩应力场主应力方向与水平面成一定角度因此,更一般的力学模型应是将地应力简化为无穷远处与水平轴成一角度的均匀应力场另外,文献[6]仅针对圆形和椭圆形隧洞给出了φ(z)和ψ(z)解析通式的验证,未开展任意开挖断面隧洞围岩应力的解析解研究

本文在前人研究的基础上,针对地下任意开挖断面隧洞,将原岩应力场归化为无穷远处与水平轴呈一角度的均匀应力场,基于共形映射的复变函数法探究更为一般的隧洞围岩应力函数解析通式,给出的任意开挖断面隧洞围岩应力解析解可便捷地应用于围岩应力计算分析

1 任意开挖断面隧洞围岩应力解析思路

1.1 原岩应力场下隧洞平面力学模型

文献[24-25]的研究表明,当地下隧洞埋深与开挖断面尺寸相比较大时,忽略隧洞影响范围内(通常为横断面中最大尺寸的3~5倍)的岩石自重,获得的围岩应力分析结果与原问题的误差不超过10%地应力简化为无穷远处作用与水平轴成一角度的均匀应力场因此,地下隧洞更一般的平面力学模型如图1所示,其中P1与水平方向的夹角为β[2-4]

图1 任意开挖断面隧洞平面力学模型
Fig.1 The mechanical model for the tunnel with an arbitrary-excavation cross section

1.2 隧洞围岩应力复变函数分析的数学模型

根据平面弹性力学复变函数分析法,用式(1)和(2)[26-29]开展围岩应力解析计算分析:

σx+σy=4Re[φ′(z)],

(1)

(2)

式中的解析函数φ(z)和ψ(z)以式(3)和(4)表示,同时应满足洞周边界条件(5),即隧洞开挖后洞壁面力等于0:

φ(z)=Bz+φ0(z),

(3)

ψ(z)=(B′+iC′)z+ψ0(z),

(4)

(5)

上述公式中的复变量z为隧洞外任意点,φ0(z)和ψ0(z)亦是解析函数,i为虚数单位,BB′和C′由式(6)确定,式(5)中的t为洞周边界上任意点,φ(t)一阶导数的共轭,ψ(t)的共轭,

B=(P1+P2)/4, B′+iC′=-(P1-P2)e-2βi/2,

(6)

式中的P1P2β由图1的力学模型给出若能根据上述数学式和边界条件求出φ(z)和ψ(z)通式,则φ′(z),φ″(z)和ψ′(z)亦可给出,根据式(1)和(2)即获得了任意开挖断面隧洞围岩应力解析解

1.3 隧洞任意开挖断面几何模型

本文引入单位圆外-洞室外域共形映射函数,将单位圆外域保角映射到任意开挖断面隧洞外域,如图2所示本文研究对象为任意开挖断面的隧洞,如图2(b)所示该几何断面下,针对图1中的力学模型,不可能直接解出式(3)~(5),因此,通过式(1)和(2)获得解析解是困难的复变函数的优势在于,通过引进共形映射函数,将物理平面z上形状比较复杂的隧洞断面,看成由ζ平面上边界形状比较简单的断面如单位圆保角变换而得,将变量z表示的力学问题转化成变量ζ表示即在几何模型上将以任意开挖断面的隧洞,通过共形映射转换为以单位圆为边界的隧洞,然后利用复变函数的一些特性求得原问题的解

(a) ζ平面 (b) z平面
(a) The ζ plane (b) The z plane
图2 单位圆外-任意开挖断面洞室外域共形映射
Fig.2 Conformal mapping between exterior of the unit-circle tunnel and
exterior of the tunnel with an arbitrary-excavation cross section

该映射可由式(7)的Laurent级数有限项给出[10-11,13]

(7)

其中,cn=an+ibnanbn为实常数;复变量ζ为单位圆外任意点;m为映射函数的项数,取值与开挖洞形的复杂程度及对映射函数精度的要求有关确定了manbn,便确定了映射函数将映射函数z=ω(ζ)代入式(3)~(5)后,可得

φ(z)=φ(ω(ζ))=(ζ)+φ1(ζ),

(8)

ψ(z)=ψ(ω(ζ))=(B′+iC′)ω(ζ)+ψ1(ζ),

(9)

(10)

其中,φ1(ζ)=φ0(ω(ζ)),ψ1(ζ)=ψ0(ω(ζ)),σ为单位圆周线上任意点,对应于隧道边界线上的任意点t(图2(b)所示)至此,由复变量z表示的φ(z)和ψ(z)转变成由复变量ζ表示,若求得φ1(ζ)和ψ1(ζ),则确定了φ(z)和ψ(z)

2 任意开挖断面隧洞围岩应力解析解

2.1 解析函数φ1(ζ)和ψ1(ζ)的求解

由式(10)直接求解φ1(ζ)和ψ1(ζ)是困难的据Harnack定理[26-27]知,将方程(10)转化为积分方程后,若求得φ1(ζ)和ψ1(ζ),则该解亦为方程(10)的解对式(10) 作Cauchy积分算子,得

(11)

式中L为逆时针单位圆周线(图2(a)所示)可对式(11)中各被积函数的解析性进行讨论,并利用留数理论求得其积分值,具体过程可参考相关文献[6-7],进而求得

(12)

为求得ψ1(ζ),对式(10)取共轭,并作Cauchy积分算子有

(13)

同样地,可求得

(14)

2.2 φ(z)和ψ(z)的求解

将式(12)代入式(8),并考虑式(7)的映射函数形式,整理得

(15)

常数项2Bc2在围岩应力求解中没有影响,故在式中已略去同样,将式(14)代入式(9)后有

(16)

式中的常数项也相应略去,φ1(ζ)由式(12)确定至此,获得了单位圆外-洞室外映射条件下,地下任意开挖断面隧洞的两个解析函数φ(z)和ψ(z)的解析显式

2.3 地下任意开挖断面隧洞围岩应力解析解

隧洞围岩应力只和φ(z)和ψ(z)的一阶、二阶导数有关系,因此前面推导结果中略去常数项是不影响围岩应力计算的φ′(z),φ″(z)和ψ′(z)做如下推导:

(17)

(18)

(19)

式中的φ(ω(ζ)),ψ(ω(ζ))及ω(ζ)已由式(15)、(16)和(7)给出将求得的φ′(z),φ″(z)和ψ′(z)代入式(1)和(2),其中式(2)根据实部和虚部相等可获得两个方程,三个方程求解三个未知数σxσyτxy,便获得了地下任意开挖断面隧洞围岩应力解析解

3 算 例

3.1 算例1,地下椭圆形隧洞

如图3所示的椭圆形隧洞力学模型在文献[25-26]中已做了研究,均给出了单位圆外-洞室外映射条件下φ(z)和ψ(z)的解析式及洞周应力分析以此模型为算例,利用本文研究成果对其φ(z)和ψ(z)解析式进行求解

图3 椭圆形隧洞力学模型
Fig.3 The mechanical model for the elliptic tunnel

3.1.1 映射函数

为求解φ(z)和ψ(z)解析式,需知单位圆外域-椭圆形隧洞外域的共形映射函数其可由式(20)给出[6,25-26]:

(20)

其中,c=(a+b)/2,m=(a-b)/(a+b),ab分别为椭圆形断面的长轴和短轴c乘入式(20)右边项括号内,并令c1=cc3=cm,转化成

(21)

式(21)是Laurent级数的有限项,由3项组成,其中间项c2=0已略去

3.1.2 φ(z)和ψ(z)的求解

由式(6)可得,椭圆形隧洞的BB′和C′分别为P1/4,-P1cos(2β)/2和P1sin(2β)/2将式(21)代入式(15)后,并代入BB′,C′,c1c3后得

(22)

将式(14) 和(21)代入式(16)后,并代入BB′,C′,c1c3后得

(23)

3.1.3 计算结果比较

文献[26]给出了图3单位圆外-洞室外映射条件下φ(z)和ψ(z)的Cauchy积分解法结果,文献[27]给出相同映射条件下的幂级数解法结果,两种结果一致从式(22)中可知, φ(z)结果与文献[26-27]一致,ψ(z)的数学形式上与文献中的结果有差异,为做进一步比较,对式(23)做等价变换:

(24)

至此,式(24)的结果与文献[26-27]中结果一致获得椭圆形隧洞的解析函数φ(z)和ψ(z)后,由式(17)~(19)可求得φ′(z),φ″(z)和ψ′(z),根据式(1)和(2),可开展围岩应力计算和分析,限于篇幅,这里不再赘述

3.2 算例2,公路隧道标准型断面

本文的研究结果适用地下任意开挖断面隧洞, 只要给出单位圆外域-洞室外域的共形映射函数, 可方便地进行围岩应力计算和分析为进一步验证研究结果的可靠性, 给出公路隧道算例

3.2.1 计算条件

图4(a)为《公路隧道设计规范》(JTG D70—2004)[30]中的两车道隧道内轮廓断面, 参照此断面给出本算例尺寸, 如图4(b)所示假设隧道围岩是均质各向同性的, 原岩应力仅受自重应力场作用, 埋深为120 m,围岩重度γ为23 kN/m3,侧压力系数λ为0.54,因此,P1= 1.49 MPa, P2=2.76 MPa, β=0;由图1的力学模型及式(6)可知,B=1.06 MPa, B′=0.64 MPa和C′=0

(a) 标准断面[30](b) 实际断面(单位: m)
(a) The standard section[30](b) The actual section(unit: m)
图4 两车道公路隧道断面
Fig.4 Cross sections of a two-lane road tunnel

3.2.2 映射函数

映射函数以式(7)的Laurent级数有限项表示,将单位圆外域共形映射到图4(b)所示的隧道实际开挖断面外域映射函数系数采用文献中的计算结果(表1)[13],其中m为16项,映射断面与实际开挖断面的边界线误差控制在5 mm以内

表1 两车道公路隧道映射函数系数

Table 1 Coefficients of the mapping function for the two-lane road tunnel

coefficientAiBicoefficientAiBi15.344 31.953 19-0.003 4-0.002 820.000 01.079 4100.003 0-0.008 630.713 3-0.260 711-0.007 40.000 14-0.271 5-0.321 9120.000 70.002 05-0.075 20.131 5130.000 2-0.001 06-0.002 7-0.000 514-0.002 20.000 470.008 80.048 2150.000 70.001 280.028 3-0.016 616-0.000 70.000 8

3.2.3 应力分析

将表1中的映射函数系数及参数BB′和C′代入式(15)和(16)后,据式(17)~(19)求得φ′(z),φ″(z)和ψ′(z),将之代入式(1)和(2),分别求出σxσyτxy对上述围岩应力的计算过程编写了MATLAB代码,计算出σxσyτxy

1) 洞壁环向应力

在孔口问题中,最大及最小应力总是发生在孔边洞壁处的径向应力和剪应力均为零,但环向应力调整较大,因此洞壁应力尤其值得注意通过将单位圆周线50等分,得到坐标点,将其代入映射函数及围岩应力解析通式,即获得隧道开挖后的洞壁环向应力分布,如图5所示

图5 隧道洞壁环向应力分布
Fig.5 Hoop stress distribution along the wall surface of the two-lane road tunnel

由图5可知,洞壁环向应力左右对称,符合围岩均质、洞形和荷载呈竖轴对称的计算条件;图中左右数值不完全对称的原因是计算点并非完全对称洞壁环向应力均为压应力,其最大值出现在拱底弧和侧墙的相交处,此处曲率半径最小段(R=1.6 m);最小值出现在拱底弧中间部位,此处为曲率半径最大段(R=15.6 m);其他部位应力介于两者之间

2) 围岩应力扰动范围分析

隧道开挖后洞周围岩产生次生应力场,近洞壁处的应力调整较大,距洞壁距离逐渐增加,围岩应力逐渐趋近于原岩应力选取两车道公路隧道拱顶、拱底和拱腰围岩作为分析对象(图6),分析点被标以数字1′,2′,…,12′,这些点从单位圆外3条与x轴夹角(逆时针为正)分别为70°,-27°和-110°射线上的点,由映射函数z=ω(ζ)映射而得,射线上的点被标以数字1,2,…,12,且相邻点的间距为rr=1为单位圆的半径

图6 围岩应力分析点
Fig.6 Analytical points of surrounding rock stresses

图7为拱顶、拱底和拱腰围岩各分析点的σxσyτxy分布,图中横轴坐标为单位圆外点由图7(a)和(b)知,拱顶和拱底洞壁处的围岩应力σy为0,为σx作用下的单向应力状态σx的值与图5相应点一致同时拱顶和拱底所有分析点的τxy均为0,表明这些点的σxσy均处于主应力面上由图7(c)知,拱腰洞壁点亦处于单向应力状态,但在水平和竖直方向上σxσyτxy分别为0.001,7.131,0.094 MPa,其主应力面与水平面和竖直面有细微偏差拱顶、拱底和拱腰围岩应力在2r范围内,即与洞壁距离分别为5.865,6.446,5.391 m的范围内调整幅度最为剧烈,在与洞壁距离分别为40.208,40.986,39.231 m之外,围岩应力趋近原岩应力

(a) 拱顶围岩应力
(a) The stresses of surrourding rock at the arch top

(b) 拱底围岩主应力
(b) The stresses of surrourding rock at the arch bottom

(c) 拱腰围岩应力
(c) The stresses of surrourding rock at the arch waist
图7 两车道公路隧道围岩分析点应力
Fig.7 Analytical point stresses of surrounding rock for the two-lane road tunnel

下面对围岩应力扰动做进一步分析文献[23]中给出了轴对称荷载P0作用下的圆形巷道围岩应力的弹性解析解,围岩应力变化率超过5%时围岩边界为r=5R0(R0为巷道开挖半径),围岩应力变化率超过10%时的围岩影响边界为r=3R0参照此概念,将图7中的σxσy分别与原岩水平和竖向应力P1P2比较,分析调整率达5%或10%时的围岩边界值由图7知,围岩应力变化率为5%时,拱顶围岩边界距洞壁23.091~28.801 m之间,即开挖半径的5~6倍之间;拱底围岩边界距洞壁29.569~35.281 m之间,即开挖半径的6~7倍之间;拱腰围岩边界距洞壁16.570~22.220 m之间,即开挖半径的3~4倍之间围岩应力调整率为10%时,拱顶围岩边界距洞壁17.371~23.091 m之间,为开挖半径的4~5倍之间;拱底围岩边界距洞壁18.110~23.848 m之间,为开挖半径的4~5倍之间;拱腰围岩边界距洞壁10.947~16.570 m之间,为开挖半径的3~4倍之间

4 公路隧道围岩应力数值分析

为进一步验证本文研究结果,运用ABAQUS有限元软件,对公路隧道标准型断面的围岩环向应力进行数值计算和分析,并将计算结果与文中3.2小节的相应内容做对比分析

4.1 数值计算

计算条件同3.2.1小节,计算模型为平面应变模型,围岩体为均质弹性,弹性模量30 MPa,Poisson比0.35,其底部及左右两边界均受约束,顶部施加2.76 MPa应力图8为数值计算得到的隧道洞壁环向应力分布情况

4.2 结果分析

由图8知,隧道近洞壁围岩环向最大主应力左右对称,最大值出现在拱底弧和侧墙的相交处,为9.19 MPa,最小值出现在拱底弧中间部位,为0.51 MPa,其他部位应力值介于两者之间,分布规律与图5隧道洞壁环向应力分布一致

(a) 洞壁最大主应力云图 (b) 洞壁最大主应力分布
(a) The maximum principal stress contour of wall surface(b) The maximum principal stress distribution of wall surface
图8 隧道洞壁环向应力
Fig.8 Hoop stress distributions of tunnel wall surface for the two-lane road tunnel

注 为了解释图中的颜色,读者可以参考本文的电子网页版本.

从洞壁环向应力的绝对数值看,两者略有差异,ABAQUS有限元计算得到的最大应力值略小,最小应力值略大,这与两者采用的计算原理差异性相关有限元分析原理是将真实物理系统离散成有限个单元,用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统,其本质是近似解就本算例而言,ABAQUS有限元用洞壁单元近似洞壁点,其得到的结果是该单元的平均值本文利用任意开挖断面隧洞围岩应力解析解,将相关计算条件直接代入,得到的是直接的洞壁点结果,是解析闭合解

5 结 果 讨 论

前文中给出了任意开挖断面隧洞围岩应力解析解的研究过程、φ(z)和ψ(z)通式、围岩应力解析解及两个算例,下面就其中几个问题做进一步讨论:

① 针对算例1中的椭圆形隧洞力学模型,本文求得的解析函数φ(z)和ψ(z)与文献[26-27]中的结果一致就求解过程而言,文献[26]是用Cauchy积分法进行推导的,涉及到对项的处理,文献[27]用幂级数法进行φ(z)和ψ(z)的求解,根据同幂项相等原则,涉及较多方程的求解本文将映射函数z=ω(ζ)直接代入φ(z)和ψ(z)通式,即求得了φ(z)和ψ(z)的结果事实上,针对任意开挖断面,只需给出映射函数,即可获得φ(z)和ψ(z)的结果,从而可方便地进行围岩应力计算分析

② 算例2给出了公路隧道标准型断面洞壁环向应力的计算分析结果该断面的边界线由四种不同曲率半径共六段弧线组成从分析结果知,弧线曲率半径对洞壁环向应力影响较大,在不同曲率半径的弧段衔接部位,两者曲率半径差异小,意味着顺接光滑,环向应力过渡较平顺,反之差异达到一定程度则存在应力突变这诠释了在实际工程设计和施工中,为什么要求不同弧段光滑顺接,尤其要避免出现角点和尖点同时给出了隧道洞壁最大主应力的ABAQUS有限元计算结果,其分布规律与解析解结果一致,两者的计算精度略有差异,这与两者采用的计算原理相关

③ 从算例2中的围岩应力扰动范围分析结果看,无论对应于5%还是10%的围岩边界,均比文献[24]中圆形巷道围岩应力影响边界大,且均小于文献[29]基于淮南矿务局潘一矿的水压致裂法地应力测量给出的结果,本文结果介于两者之间算例采用的断面形状是公路隧道标准型断面,介于上述文献中的圆形和矩形之间,所获结果符合隧洞开挖断面对围岩受力状态和稳定性影响的规律性认知[23]

④ 实际应用时,围岩应力解析解的精度取决于共形映射函数的精度本文中获得的地下任意开挖断面隧洞围岩应力解析解通式,没有对映射函数项数做任何截项处理,也未采用新的级数代替洞壁应力边界条件方程中的任何数学项,整个求解过程不产生任何精度损失,所获得的围岩应力解是完全解析解

6 结 论

1) 本文针对更一般的力学模型,将地应力简化为无穷远处作用与水平轴成一角度的均匀应力场,引入单位圆外域-洞室外域共形映射函数将以复杂开挖断面为边界的地下隧洞围岩应力求解问题转化成以单位圆为边界的应力求解问题;对洞壁应力边界条件方程作Cauchy积分算子,将其转化成积分方程,然后利用被积函数在求解域上的解析性和留数理论求解了该积分方程,获得了地下任意开挖断面隧洞围岩应力解析解,研究成果更具一般性

2) 利用研究成果对地下任意开挖断面隧洞进行围岩应力计算时,无需再进行围岩应力函数的繁琐求解,只要给出以Laurent级数表示的从单位圆外域到实际洞室外域的共形映射函数,将此函数和实际边界条件代入围岩应力函数解析通式中,即可方便地开展围岩应力解析计算和分析,且用MATLAB软件可较容易地实现整个计算过程,研究结果具有适用性

3) 在地下椭圆形隧洞算例中,获得的围岩应力函数解析式与文献中结果一致在地下两车道公路隧道算例中,洞壁环向应力解析分布规律与ABAQUS有限元软件所获结果一致,获得的围岩应力解析计算分析结论符合工程规律算例表明,利用本文的研究成果开展地下任意开挖断面隧洞的围岩应力计算分析具有较好的可靠性

参考文献(References):

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Analytical Stress Solutions Around Tunnels With Arbitrary-Excavation Cross Sections Based on Conformal Mapping From a Unit Circle to the Tunnel Exterior

SHI Gaoping1, ZHU Jianghong2,3, YANG Jianhui2

(1.School of Machinery and Automobile Engineering,Zhejiang University of Water Resources and Electric Power,Hangzhou 310018, P.R.China; 2.School of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang University of Science and Technology,Hangzhou 310023, P.R.China; 3.Hangzhou Dajiangdong Investment and Development Co., Ltd., Hangzhou 311222, P.R.China)

Abstract: The stresses around tunnels with arbitrary-excavation cross sections were studied with the stress field simplified as a uniform stress field at an angle to the horizontal axis at infinity.The conformal mapping function was introduced to express the stress functions of surrounding rock with variable ζ instead of variable z.Then the Cauchy integral operator was applied to the stress boundary equation for tunnel wall.The general analytical solutions to stress functions and analytical solutions of surrounding rock stresses were obtained for tunnels with arbitrary-excavation cross sections according to the integrand analyticity and the residue theorem.Moreover, with the stress boundary conditions for elliptical tunnels substituted into the general analytical solutions, the obtained particular solutions to stress functions consisted with the results in literatures.The surrounding rock stresses were analyzed for 2-lane road tunnels based on the explicit general analytical solutions and the results accorded with engineering rules.The stress distribution of tunnel wall was analyzed with the ABAQUS finite element method, and the results coincided with the analytical solution.The analytical calculation can be expediently carried out for underground tunnels with arbitrary-excavation cross sections as long as their conformal mapping functions are presented from the unit circle exterior to the tunnel exterior.

Key words: conformal mapping; arbitrary-excavation cross section; analytical solution; stress function of surrounding rock; residue theorem

*收稿日期: 2019-07-18;

修订日期:2019-09-21

基金项目: 浙江省自然科学基金(LY14E080012)

作者简介:

施高萍(1978—),女,副教授,硕士(E-mail: shigaoping@126.com);

祝江鸿(1974—),男,高级工程师,博士(通讯作者.E-mail: zhujianghong14@163.com).

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887

http://www.applmathmech.cn

引用格式: 施高萍, 祝江鸿, 杨建辉.单位圆外域-洞室外域共形映射下任意开挖断面隧洞围岩应力解析解[J].应用数学和力学, 2020, 41(5): 541-556.

中图分类号: TD352

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.400220