引 言
Lotka-Volterra模型是一类被数学家和生态学家广泛关注的生态模型，尤其是考虑到扩散对生物种群的影响, 近年来, 很多学者对含扩散项的Lotka-Volterra竞争模型进行了有益的探索, 得到了十分丰富的结论．例如, Gardner[1]和Conley等[2]研究了经典的Lotka-Volterra反应扩散系统:
(1)
系统(1)有4个平衡点, 分别是
Gardner[1]和Conley等[2]分别利用度理论和Conley指标法得到了连接E1和E2的行波解的存在性．文献[3-4]利用相平面分析法得到了连接E0和E*的行波解的存在性．关于Lotka-Volterra竞争模型的更多结论可参看文献[5-8]等．
考虑到环境和生物现象常随时间而产生周期性的变化, 例如温度和物种出生率会随季节周期改变．Zhao和Ruan[9]研究了具有时间周期的Lotka-Volterra扩散-竞争模型:
(2)
其中ri(t),ai(t),bi(t),i=1,2是以时间T为周期的连续函数．在一定的假设下, Zhao和Ruan[9]得到了连接两个半正周期平衡点的行波解的存在性、唯一性、单调性和渐近稳定性．
另一方面, 由于妊娠、孵化和成熟等方面的影响, 时间滞后往往是不可避免的．Li等[10]研究了具有时滞的Lotka-Volterra扩散-竞争模型:
(3)
Li等[10]利用上、下解方法证明了行波解的存在性．并且,利用双边Laplace变换得到了行波解在正、负无穷远处的渐近行为, 利用比较原理和滑动法得到了行波解的单调性和唯一性．关于其他时滞Lotka-Volterra模型的研究, 可参看文献[11-15]．
然而在现实生活中, 时间周期性与时间滞后通常是并存的．故综合考虑两类因素, 本文研究如下时间周期的时滞Lotka-Volterra竞争系统：
(4)
其中u(t,x)和v(t,x)表示两个竞争物种在t∈R+,x∈R的密度, τ1>0,τ2>0, 函数ri, ai和bi满足以下假设：
(H1) 对于某个0<θ<1,ri,ai,bi∈Cθ(R,R)，ri(t+T)=ri(t)，ai(t+T)=ai(t)，bi(t+T)=bi(t),且
本文研究系统(4)具有以下形式的时间周期行波解：
满足
其中c是常数, 称之为波速．(u+(t),v+(t))和(u-(t),v-(t))是相应kinetic系统
(5)
的周期解．
(H2) 系统(5)仅存在3个非负周期平衡解(0,0),(p(t),0)和(0,q(t))，且(p(t),0)是渐近稳定的．
本文研究满足
的时间周期行波解．令
(6)
记
hτ
h(t-τ,z+cτ), Uτ(U1,τ,U2,τ)(U1(t-τ,z+cτ),U2(t-τ,z+cτ))．
将式(6)代入式(4)得到
(7)
其中
f1(t,U,Uτ1)=U1[a1(t)p(t-τ1)(1-U1,τ1)-b1(t)q(t-τ1)(1-U2,τ1)],
f2(t,U,Uτ2)=(1-U2)[a2(t)p(t-τ2)U1,τ2-b2(t)q(t-τ2)U2,τ2]．
并有
相较于Lotka-Volterra竞争系统行波解的已有结论[2，9-10], 系统(4)具有时间周期与时间滞后的同时作用, 这为研究带来了新的困难．本文致力于系统(4)的周期行波解的研究, 首先, 在一定条件下, 通过构造适当的上下解, 结合单调迭代方法得到了当c<c*时, 周期行波解的存在性; 进一步地, 通过比较原理证明了行波解关于z的单调性以及渐近行为; 最后, 证明了当c=c*时, 临界波的存在性．
1 准 备 知 识
定义1 如果u∈Rn并且v∈Rn, 那么u<v(或者v≤u)可以被理解为对于每一个i, ui<vi(或者ui≤vi)．其他的关系，例如“max”“min”“sup”和“inf”都可以这样理解．
定义2 I×Γ⊂R×R, 向量函数w=(w1,w2,…,wn)∈C1,2(I×Γ,Rn)被称为
(8)
的正则上解, 当且仅当
其中di,ci∈Cθ(Γ,R), fi∈Cθ,1(I×Rn,R)，0<θ<1．类似地, 当不等号反号时，可定义正则下解．
定义3 若存在式(8)的正则上解w1,w2,…,wk使得v=min{w1,w2,…,wk}, 则称v=min{w1,w2,…,wk}是式(8)的非正则上解．类似地, 若存在式(8)的正则下解v1,v2,…,vk使得v=max{v1,v2,…,vk}, 则称v是式(8)的非正则下解．
2 周期行波解的存在性
2.1 上、下解的构造
假设(H1)和(H2)成立．令
k0
φ(t)
显然
进一步假设
(H3) a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)≥a2(t)p(t-τ2)-b2(t)q(t-τ2)≥0,
(H4) φ(t)≥1,∀t∈[0,T], 且maxt∈[0,T]φ(t)≤e2k0τ2．
固定c<c*
定义以下函数：
w(t,z)mφ(t)eλcz, w1(w(t,z),w(t,z)), w2(1,1),
min{w1,w2}=min{(w,w),(1,1)},
(max{δeλczφ(t)(1-eεz),0},0),
其中m≥0为任意常数,
λc
ϑ-[(λc+ε)2+c(λc+ε)+k0]，
以及δ∈(0,Λϑ)均为正常数, 这里
Λϑ
引理1 假设(H1)～(H4)成立, 则对任意
满足
(9)
即
是式(7)的非正则上解．
证明 令
A+
当(t,z)∈A+时,
显然满足不等式组(9)．当(t,z)∈A-时,
下面验证w1满足式(9)的第一个不等式：
wzz+cwz-wt+w[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]=
cλcmφ(t)eλcz+mφ(t)eλcz[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]=
下证w1满足式(9)的第二个不等式．
根据假设(H4),有maxt∈R φ(t)≤e2k0τ2φ(t)．故对于任意t∈R,φ(t-τ2)e-2k0τ2≤φ(t)．另一方面，注意到
且
关于c是单调递增的, 那么ecλcτ2也关于c单调递增, 所以ecλcτ2
φ(t-τ2)ecλcτ2≤φ(t-τ2)e-2k0τ2≤φ(t)．
又因为此时0<mφ(t)eλcz<1, 所以(1-mφ(t)eλcz)φ(t-τ2)ecλcτ2≤φ(t)．不等式两边同乘meλcz,得(1-mφ(t)eλcz)mφ(t-τ2)eλc(z+cτ2)≤mφ(t)eλcz,也就是
(1-w(t,z))wτ2≤w(t,z)．
所以根据假设(H3)、(H4)及φ′(t)的定义, 可得
wzz+cwz-wt+(1-w)[a2(t)p(t-τ2)wτ2-b2(t)q(t-τ2)wτ2]=
wzz+cwz-wt+(1-w)wτ2[a2(t)p(t-τ2)-b2(t)q(t-τ2)]≤
wzz+cwz-wt+w[a2(t)p(t-τ2)-b2(t)q(t-τ2)]=
[a2(t)p(t-τ2)-b2(t)q(t-τ2)]w≤
综上,是式(7)的一对非正则上解．证明完毕．
引理2 假设(H1)～(H4)成立, 则对任意
满足
(10)
即
是式(7)的非正则下解．
证明 当z>0时,
显然满足式(10)．当z<0时,
下面证明
满足式(10)的第一个不等式：
δeλcz{[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]φ(t)(1-eεz)-
a1(t)p(t-τ1)δeλc(z+cτ1)φ(t-τ1)(1-eε(z+cτ1))φ(t)(1-eεz)-
δeλcz{[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]φ(t)-k0φ(t)-φ′(t)-
eεz{[a1(t)p(t-τ1)-b1(t)q(t-τ1)]φ(t)+
(λc+ε)2+(cλc+ε)φ-φ′(t)}-
δeλc(z+cτ1)φ(t)(1-eεz)a1(t)p(t-τ1)φ(t-τ1)[1-eε(z+cτ1)]}=
δeλcz{ϑφ(t)eεz-
δeλc(z+cτ1)φ(t)φ(t-τ1)a1(t)p(t-τ1)(1-eεz(1-eε(z+cτ1)))}≥
ϑ
δeλc zϑφ(t)(eεz-eλc(z+cτ1)) ≥0．
再证明
满足式(10)的第二个不等式:
综上, 函数
是式(7)的一对非正则下解．证明完毕．
2.2 周期行波解
定理1 假设(H1)～(H4)成立．则对任意的
系统式(7)存在周期行波解
且对所有
证明 令
满足
(11)
其中K是一个正常数,且
Un是式(11)的一个适度解, 可由下式给出:
其中G(t)是由线性算子A: D(A)→Cb(R)生成的解析半群(参看文献[16]),A定义为
根据文献[16]中的定理5.1.3、5.1.4, 对任意
∈(0,T), 存在α∈(0,1)使得
[
,T]×R),
并且U1在[0,T]×R上满足式(11)的第一个方程, 因此当n≥2, 对任意
满足式(11)．
下面证明对所有(t,z)∈[0,T]×R, 有
令
L
vr
+Nt)eμt,
其中=(1+c)2, μ>1, N>2是固定常数, 使得对任意t∈R, 2(1+c|z|)-μ(z2+)-N<0．显然L>0．当|z|≤r时, 注意到U0(0,z)=U1(T,z), vr(0,z)>0．另外, 对任意t∈[0,T],vr>0．事实上, 对所有(t,z)∈[0,T]×[-r,r], 有vr≥0．否则, 存在点(t*,z*)∈[0,T]×(-r,r)和至少一个vr的分量
使得
因为
是式(7)的非正则上解, 不失一般性, 假设
或2．令
+Nt)eμt．
通过直接计算, 可得
另外, 显然
且对所有(t,z)∈[0,t*]×[-r,r], 有
所以
因此
这是矛盾的, 故对所有(t,z)∈[0,T]×[-r,r], 有vr>0．又因为当r→+∞时, vr在
上一致地收敛到
所以
同时, 根据比较原理,U1≥0．注意到对所有
所以对任意t∈[0,T], 有
根据m≥1的任意性, 可选取m充分大, 使得对所有(t,z)∈R×R, 有
所以
通过与前面类似的讨论得: 对所有
类似地, 对所有(t,x)∈[0,T]×R, 当n≥1有
且
因此, 序列{Un}是一致有界的．进一步地, 根据文献[16]中的定理5.1.2～5.1.4 可得, 对于n≥2,
其中C,M和α∈(0,1)是确定的正常数, 且α依赖于C和
这里γ∈(0,1)．根据Arzela-Ascoli引理, 存在{Un}的子列(依然记作{Un})在
中收敛到一函数, 记作Uc．显然对任意(t,x)∈[0,T]×R，Uc满足式(7)．因为Un+1(0,z)=Un(T,z), 所以Uc(0,z)=Uc(T,z)．另外,
对等式两边同时取极限, 得
因此, Uc满足周期边界条件, 从而
是式(7)的一个光滑周期解．本定理证毕．
定理2 假设(H1)～(H4)成立．则
证明 
显然, 对任意s∈R, Un+1(t,z+s)满足式(7), 并且其初值为Un+1(0,z+s)=Un(T,z+s)．又因为对任意s>0, 有
根据比较原理, 对任意s≥0,有
Un+1(t,z+s)≥Un+1(t,z)．
利用Helly定理, 存在{Un}的一个子列(仍记作{Un})使得
因此,Uc(t,·)是非减的．又因为Uc(t,z)和Uc(t,z+s)都满足式(7), 且
所以由比较原理得,
或者
但因为
所以固定t时
不恒为常数．这就证明了
根据由所得的单调性, 对于任意
存在．令
另外, 由
关于t的正则性及其在[0,T]上的紧性可知, 当z→±∞时,
关于t∈R一致收敛到
根据
和的定义易知
因此由夹逼原理得
下证
一方面, 根据Barbalat引理,
因此,
满足
(12)
根据假设(H2),式(12)有且仅有3个非负周期解(1,1),(0,0)和(0,1)．另一方面, 因为任意z∈(-∞,0), 所以
又因为
关于z是严格单调递增的, 故
因此
证毕．
定理3 假设(H1)～(H4)成立．则当c=c*时, 系统式(7)存在周期行波解
并满足
且limz→+∞Uc*=(1,1)．
证明 令Uc 是系统式(7)在c<c*时的周期行波解．因为
一致有界, 所以根据抛物估计可得, 当c∈[c*-1,c*)时,一致地有
令{cn}是[c*-1,c*)中数列, 并当n→∞时有cn→c*,根据Arzela-Ascoli引理, 必存在{Ucn}的子列(为简便还记作{Ucn})在
的意义下收敛, 极限记作
在系统式(7)中取极限, 即得当c=c*时Uc*满足系统(7)．另外根据Helly定理, 有
(13)
根据Ucn的周期性有Uc*(t+T,·)=Uc*(t,·),另外显然
因为对任意s>0, Uc*(t,z+s)也是式(7)的解, 根据最大值原理,
又因为对任意的n, 有limz→-∞Uc=(0,0), limz→+∞Uc=(1,1), 再根据式(13)和周期性可知, 存在N>0使得对任意的(t,z)∈R×(-∞,-N)有Uc*<(1/3,1/3), 对任意的(t,z)∈R×(N,∞)有Uc*>(2/3,2/3), 因此必然有
由此易得
证毕．
3 总 结
本文致力于研究一类时间周期的时滞Lotka-Volterra竞争模型的行波解．当c<c*时, 通过构造合适的上、下解, 结合单调迭代方法得到了行波解的存在性．然后, 利用比较原理证明了行波解的单调性．进而, 证明了行波解的渐近行为．最后, 证明了当c=c*时, 周期行波解的存在性．
相较于Lotka-Volterra竞争系统行波解的已有结论, 如文献[2,9-10]等, 本文考虑了时间周期和时间滞后的同时作用, 这为研究带来了新的困难, 比如缺乏周期平衡点存在性的结论, 以及上下解的构造要更加复杂．需要说明的是, 本文中假设(H2)和(H4)的给出是技术性的, 或许是可以弱化的．笔者的下一步工作是研究系统(4)正平衡点不存在的条件, 以及系统(4)周期行波解的唯一性和渐近稳定性．
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