环境激励下基于柔度矩阵分解的损伤诊断*

李国庆, 罗 帅, 苏 睿, 王泽铭, 汪 城

(绍兴文理学院 土木工程学院, 浙江 绍兴 312000)

摘要: 为了解决环境激励作用下结构自由度不完备对损伤诊断的影响,提出了一种基于自由度缩聚的比例柔度矩阵分解损伤诊断法利用附加质量法求解出环境激励作用下振型关于质量归一化因子进而根据质量归一化因子和比例柔度矩阵系数之间的关系,构建出其比例柔度矩阵,再通过使用QR矩阵分解法对构建出的比例柔度矩阵进行分解以分解后得到的三角矩阵(R矩阵)作为研究对象,将R矩阵经过相应的数学算法处理得到最终损伤定位指标算例研究表明:在环境激励作用下考虑自由度缩聚的影响,无论对于单损伤还是多损伤,所提损伤定位指标均表现出较高的准确性,且具有一定的鲁棒性该文基于矩阵分解法推导出的损伤定位指标可以应用在环境激励作用下的损伤诊断,同时也为自由度不完备结构的损伤诊断提供了新研究思路

关 键 词: 损伤定位; 比例柔度矩阵; 矩阵分解法; 模型缩聚; 抗噪分析

引 言

为了保障建筑物在服役运营过程中的安全性,损伤诊断发挥着不可替代的作用损伤诊断的主要目的是探究结构物理参数对损伤的敏感度,寻找出对损伤最为敏感的物理参数并通过运用有关数学算法直观地识别出损伤位置及程度结构损伤识别法大体分为两类:静力法和动力法静力法是基于静力学平衡而发展起来的损伤诊断法该类方法计算简单、识别精度高[1-2],但在实际工程中此方法的应用难度较大,且容易对已经受损的结构产生二次损伤,故此类方法应用范围有限相较于静力法,基于动力学发展起来的损伤诊断法只需要利用结构的低阶模态参数便能够实现结构的损伤诊断,此类方法在实际工程中得到了广泛应用[3-5]在众多的动力法损伤诊断中,由于结构的柔度矩阵获取手段简单、对损伤敏感度高等优点,故基于柔度矩阵衍生出的损伤识别法具有较好地应用前景Sung等提出了一种基于模态柔度矩阵估计损伤诱发层间挠度的悬臂梁式结构损伤检测方法,该方法无需有限元模型便可直接识别损伤位置[6]Katebi等提出了基于柔度矩阵修正损伤识别法,通过使用接近指数和变异系数提高了其损伤识别能力[7]

众所周知,模态柔度矩阵的构建需要固有频率和相应的质量归一化振型,然而在环境激励作用下由于无法准确获得激励力的大小,所以测得的振型往往是未质量归一化的为了解决这一问题,段忠东等提出了比例柔度矩阵这一概念,指出真实柔度矩阵和虚拟柔度矩阵之间相差一个比例系数,通过求解这个比例系数便可得到环境激励作用下的模态柔度矩阵[8-9]本文通过使用附加质量法求解振型关于质量归一化因子,再根据未质量归一化振型和质量归一化振型之间的关系,并联合比例柔度矩阵系数,提出了一种构建比例柔度矩阵的新方法考虑到结构自由度不完备对损伤诊断的影响,进一步推导出了基于自由度缩聚的比例柔度矩阵,将构建出的比例柔度矩阵经过QR矩阵分解法处理[10],便可得到相应的三角矩阵(R矩阵),以R矩阵作为研究对象,经有关数学算法运算,最终得到结构的损伤定位指标研究表明:无论对于单损伤还是多损伤,该损伤定位指标在自由度缩聚的影响下依然具有较高的准确性和一定的鲁棒性该方法为环境激励作用下自由度不完备结构的损伤诊断提供了参考依据

1 理 论 基 础

1.1 比例柔度矩阵的构建

结构的柔度矩阵可以通过频率和质量归一化的振型得到[11],其表达式为

(1)

其中,b为模态阶数;Φ=[φ1,φ2,…,φn],Φ为振型矩阵;φi为相应的模态质量归一化振型;为由固有频率平方组合成的对角矩阵;wi为第i阶固有频率从上式可以看出,柔度矩阵跟频率成反比关系,越高阶的频率对柔度矩阵的贡献越小,即柔度矩阵会随着频率的增加而迅速地收敛因此,只需要使用结构的低阶模态参数,便可构建出较高精度的柔度矩阵

众所周知,结构柔度矩阵的构建需要质量归一化振型,在传统的测试方法中输入和输出信号都需要被测试出来,才能获得质量归一化振型,而在环境激励的实际工程中,由于某些结构的尺寸和边界条件等因素的影响,使得人工激励的困难程度大幅增加甚至根本无法实施为了使柔度矩阵能够在环境激励作用下成立,于是有学者提出比例柔度矩阵这一概念[8],指出真实柔度矩阵和虚拟柔度矩阵之间相差一个比例系数本文通过使用附加质量法求解振型关于质量归一化因子,再根据未质量归一化振型和质量归一化振型之间的关系,提出了一种构建比例柔度矩阵的新方法,推导过程如下

环境激励作用下的未质量归一化振型ψi和质量归一化振型φi之间相差一个质量归一化因子αi,即

ψi=αiφi

(2)

αi可由附加质量法求出[12]:

(3)

其中w1w2分别为附加质量前和附加质量后的频率;ψ1为未附加质量结构振型;ΔM为附加质量大小

将式(2)、(3)代入式(1)中,可得环境激励作用下的比例柔度矩阵表达式:

(4)

其中为环境激励作用下的比例柔度矩阵系数

1.2 基于自由度缩聚的比例柔度矩阵

在实际工程中,结构自由度不完备是结构损伤识别中不可忽略的重要因素,我们为了解决环境激励作用下结构自由度不完备对损伤诊断的影响,进一步推导了环境激励作用下基于自由度缩聚的比例柔度矩阵推导过程如下

结构振动方程可表示为

(5)

式中为实测振型向量;为缩聚振型向量;λiφi(i=1,2,…,n)分别为结构振动方程的特征值和特征向量

由文献[13]可知,实测振型向量与结构全自由度振型向量之间的转换关系为

(6)

式中T为转换矩阵

联立式(2)、(4)、(6)便可得出环境激励作用下基于自由度缩聚的比例柔度矩阵:

(7)

1.3 基于QR矩阵分解法的损伤定位指标

对结构损伤前比例柔度矩阵进行QR分解处理可得

(8)

同理可得结构损伤后比例柔度矩阵的QR分解形式:

(9)

基于QR分解法结构损伤前后的上三角矩阵做差取绝对值,记为ΔR

ΔR=|Ru-Rd|

(10)

将三角矩阵差ΔR的每列最大值定义为向量R*

R*=max(ΔR)=[r1 r2rn]

(11)

通过对向量R*元素运用式(12)作中心差分处理,得到相应的损伤曲率向量这样处理的目的是提高对结构损伤的敏感度:

(12)

式中i=2,3,…,n-1;p(j)表示结构损伤曲率向量R**的第j个元素;表示结构损伤向量R*i个元素;l为有限元分析单元长度

对结构曲率向量中元素取绝对值得

|R**|=[|p(1)| |p(2)| … |p(n-2)|]

(13)

为了在图中更直观地展现出结构损伤位置,将曲率向量|R**|中的元素分别对其最大值元素进行归一化处理,得到向量Ca

(14)

Ca定义为本文提出的新损伤定位指标,结构发生损伤会导致定位指标元素的突变,以此作为结构是否发生损伤的判断依据,根据损伤定位指标突变的位置和个数来确定结构发生损伤的位置和损伤个数作为一种新损伤识别法,下面将通过算例验证运用此方法推导出的新损伤定位指标的可行性

自然环境中随机噪音干扰是影响损伤诊断精确性的重要因素,为了验证上述推导的损伤定位指标鲁棒性,在频率和振型中考虑随机噪音干扰[14]

wi=wi(1+0.01ε·rand(-1,1)),

(15)

ψi=ψi+0.01ζψi·rand(-1,1)+0.01ξUrms(ψi)rand(-1,1),

(16)

式中wiψi为加入随机噪声处理后频率和振型;ε表示为频率引入的噪声水平;ζξ表示为振型引入的噪声水平;rand(-1,1)表示在-1和1之间均匀分布的随机数;Urms(ψi)为ψi的均方根

2 算 例 分 析

为了验证上述推导的损伤定位指标的可行性和准确性,采用数值算例对其进行验证悬臂梁长为4 m,截面尺寸为0.3 m×0.5 m,将简支梁划分为30个单元,从左到右单元编号为1~30,节点编号为1~31,每个节点有三个自由度:xy方向平动自由度和绕平面转动自由度弹性模量E=3.2×1010 Pa,质量密度ρ=2 500 kg/m3,Poisson比μ=0.3,结构损伤通常表现为刚度的降低,对结构质量影响较小可以忽略不计,故在本文中假设结构单元的刚度减少来模拟结构的损伤悬臂梁模型如图1所示

图1 悬臂梁模型

Fig. 1 The cantilever beam model

为了使该方法的实现更为清晰和明了,具体实现步骤如下: ① 首先模态分析得出结构的低阶模态参数(本文所提方法仅仅需要使用前两阶模态参数就可以实现对结构的损伤诊断); ② 使用附加质量法求解出结构在环境激励作用下振型关于质量归一化因子αi,对于测试自由度不完备结构使用Guyan缩聚法对结构的自由度进行缩聚处理,求出转换矩阵T; ③ 利用求解出的质量归一化因子αi和转换矩阵T构建自由度缩聚后的比例柔度矩阵Fm; ④ 使用矩阵分解法(QR分解法)对比例柔度矩阵Fm进行分解处理; ⑤ 以分解后的上三角矩阵(R矩阵)为研究对象,经有关数学算法运算最终得到损伤定位指标Ca,以损伤定位指标Ca的突变个数和位置来判断结构发生损伤的个数和位置

想要得出环境激励作用下基于自由度缩聚的比例柔度矩阵,就必须求出转换矩阵T和比例柔度矩阵系数γi比例柔度矩阵系数γi可由附加质量法通过求解振型关于质量归一化因子αi来获得本文中假设悬臂梁节点编号11~21这11个节点的自由度为实测自由度,其余节点自由度均为缩聚自由度利用式(6)便可求解出实测振型向量与结构全自由度振型向量之间的转换矩阵T

在结构自由度缩聚情况下,附加质量法求解振型关于质量归一化因子的具体步骤如下: 1) 确定附加质量大小; 2) 确定附加质量位置; 3) 使用式(3)求解质量归一化因子根据实验经验附加质量的大小应该取总质量的2%到5%之间,即30 kg~75 kg[15],在这个范围内归一化误差会较小,按照这个原则这里取附加质量大小为ΔM=9×Δm1+2×Δm2=70 kg,附加质量大小及位置分布如图2所示在结构自由度缩聚情况下,使用附加质量法求解的悬臂梁前2阶振型和真实振型之间的对比如图3所示从图中可以看出,在自由度缩聚情况下,通过使用附加质量法和转换矩阵T求解出的全局自由度振型和在自由度完备情况下真实振型基本吻合,两者之间的误差非常小此现象说明环境激励作用下,基于自由度缩聚的比例柔度矩阵(式(7))近似等于结构自由度完备的真实柔度矩阵

图2 附加质量大小及位置

Fig. 2 Addition and location of masses

图3 振型对比图

Fig. 3 Comparison of the mode shapes

对于实测自由度不完备结构的损伤识别,将质量归一化因子αi和转换矩阵T求解出来后,利用式(7)便可求解出基于自由度缩聚的比例柔度矩阵Fm,执行上述实现步骤④和⑤便可以得到损伤定位指标Ca

3 损 伤 识 别

悬臂梁损伤工况如表1所示

表1 悬臂梁的损伤工况

Table 1 Damage cases of the cantilever beam

casestiffness reduction δ/%element 19casestiffness reduction δ/%element 13element 19element 251553040-21064050-3307102010440

对于每一种损伤工况都考虑随机噪音干扰[ε,(ζξ)]=[2,(3,3)]这里使用结构的前两阶模态参数为基本量构建环境激励作用下基于自由度缩聚的比例柔度矩阵接下来利用上述推导的损伤定位指标对结构进行损伤识别,识别结果如图4所示从图4(a)和图4(b)中的识别结果可以看出,19号单元的节点编号19,20发生了明显突变,表明突变节点所属单元为损伤单元,验证了本文推导的损伤定位指标无论是结构发生小损伤还是大损伤都可以准确地识别出结构损伤位置,同时具有一定的鲁棒性从图4(c)中的识别结果可以看出,13号单元和19号单元的节点编号13,14和19,20均发生了明显突变,表明突变节点所属单元发生损伤,而且未损伤单元损伤指标值曲线光滑不易引起误判此结果再一次验证了在环境激励作用下,基于自由度缩聚推导的比例柔度矩阵可以应用在对结构的损伤诊断对于损伤工况7, 从图4(d)中的识别结果可以看出, 13号单元和19号单元的节点编号13,14和19,20均发生了明显突变, 但是25号单元的节点编号25,26没有发生明显突变由此可见, 本文所提方法对非实测自由度单元的损伤诊断精度还有待于提高和改进

综上可知,对于结构实测单元无论是单处损伤还是多处损伤,本文基于QR矩阵分解法提出的损伤定位指标均具有较高的损伤定位性能和良好的抗噪性,而对非实测自由度单元的损伤诊断精度还有待于提高和改进

图4 损伤识别结果

Fig. 4 Damage identification results

4 总 结

1) 本文通过使用附加质量法求解振型关于质量归一化因子,根据质量归一化因子和比例柔度矩阵系数之间的关系,提出了在环境激励作用下一种构建比例柔度矩阵的新方法针对环境激励作用下结构自由度不完备对损伤诊断的影响,接下来根据实测振型向量与结构全自由度振型向量之间的转换关系,推导出了环境激励作用下基于自由度缩聚的比例柔度矩阵算例研究表明,使用附加质量法推导出的基于自由度缩聚的比例柔度矩阵误差较小,近似等于结构自由度完备的真实柔度矩阵

2) 以推导出的基于自由度缩聚的比例柔度矩阵为研究对象,引入QR矩阵分解法对其进行分解处理,并运用相关数学算法运算最终得到损伤定位指标算例研究表明,无论结构发生单处损伤还是多处损伤,基于QR分解法推导出的损伤定位指标均具有较高的损伤定位性能和良好的抗噪性

本文所提方法为环境激励作用下的损伤诊断提供了新思路,同时也为自由度不完备结构的损伤诊断提供参考依据,该方法具有一定的实际应用价值然而,该方法最大的局限性在于针对结构非实测自由度单元的损伤诊断,其识别精度还有待于提高和改进

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Research on Damage Diagnosis Based on Flexibility Matrix Decomposition

LI Guoqing, LUO Shuai, SU Rui, WANG Zeming, WANG Cheng

(School of Civil Engineering, Shaoxing University, Shaoxing, Zhejiang 312000, P.R.China)

Abstract: To solve the influence of incomplete measured DOFs on structural damage detection under ambient excitation, based on model reduction a proportional flexibility matrix (PFM) decomposition method was proposed. By means of the additional mass method, the normalized factor of mode shapes under ambient excitation was solved. According to the relation between the normalized factor and the PFM factor, the new PFM was built. Then, with the QR matrix decomposition method, the new PFM was decomposed and the resulting triangular matrix (R matrix) was considered as the research object, which was processed with the corresponding mathematical algorithm to obtain the final damage position index. The results show that, the proposed damage position index has high accuracy and certain robustness for both a single damage and multiple damages under ambient excitation. The damage position index derived from the matrix decomposition method applies to structural damage diagnosis under environmental excitation, making a new research idea for damage diagnosis of incomplete-DOF structures.

Key words: damage positioning; proportional flexibility matrix; matrix decomposition method; model reduction; noise immunity analysis

中图分类号: O342; TU317

文献标志码:A

DOI: 10.21656/1000-0887.410257

ⓒ 应用数学和力学编委会,ISSN 1000-0887 http://www.applmathmech.cn

*收稿日期: 2020-09-01; 修订日期:2021-01-07

基金项目: 广东省自然科学基金(2015A030310168)

作者简介: 李国庆(1993—),男,硕士生(E-mail: 1731526587@qq.com);罗帅(1981—),男,博士(通讯作者. E-mail: 2657882848@qq.com).

引用格式: 李国庆, 罗帅, 苏睿, 王泽铭, 汪城. 环境激励下基于柔度矩阵分解的损伤诊断[J]. 应用数学和力学, 2021, 42(3): 292-298.